2023-2024学年上学期期中

2023-2024学年上学期期中试卷（A）

计算行列式

D= \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ a & a+b & a+b+c & a+b+c+d \\ a & 2a+b & 3a+2b+c & 4a+3b+2c+d \\ a & 3a+b & 6a+3b+c & 10a+6b+3c+d \end{vmatrix}

\begin{vmatrix} x_1-a_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2-a_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3-a_3 & \cdots & x_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n-a_n \end{vmatrix}

已知

A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 2 & 3 & \cdots & n+1 \end{pmatrix},\quad n\ge 2,

求 $\det(AA^T)$ 与 $\det(A^TA)$ 。

已知 $a^2\ne b^2$ ，证明方程组

\left\{ \begin{aligned} ax_1 + bx_{2n} &= 1,\\ ax_2 + bx_{2n-1} &= 1,\\ &\cdots\\ ax_n + bx_{n+1} &= 1,\\ bx_n + ax_{n+1} &= 1,\\ &\cdots\\ bx_2 + ax_{2n-1} &= 1,\\ bx_1 + ax_{2n} &= 1 \end{aligned} \right.

有唯一解，并求解。

问 $\lambda,\mu$ 取何值时，齐次线性方程组

\begin{cases} \lambda x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+\mu x_2+x_3=0,\\ x_1+2\mu x_2+x_3=0 \end{cases}

有非零解？

设 $n$ 阶方阵

A= \begin{pmatrix} 2a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^2 & 2a & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & a^2 & 2a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & a^2 & 2a \end{pmatrix}.

a) 求 $\det(A)$ ；

b) 若方程组 $Ax=b$ 有唯一解， $a$ 应该如何取值，其中

b=(1,0,\cdots,0)^T;

c) 求方程组的解。

设 $\alpha=(-1,0,1)^T$ ，矩阵 $A=3I-\alpha\alpha^T$ 。

a) 求矩阵 $A$ ；

b) $A$ 是否可逆？若可逆，求 $A^{-1}$ 。

设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $A+B=AB$ 。

a) 证明： $A-I$ 可逆。

b) 证明： $AB=BA$ 。

c) 若

B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},

求 $A$ 。

设 $n$ 阶方阵 $A,B$ 和 $A+B$ 均可逆，证明： $A^{-1}+B^{-1}$ 也可逆，并求并求其逆矩阵。