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2024-2025学年上学期期末

2024-2025学年上学期期末试卷（A）​

说明​

该卷为回忆整理，题目可能与原卷存在出入，仅供参考。

3×10 选择题​

3×10 填空题​

  • 有一道考关于 m 个两两不互素的中国剩余定理计算。

10×2 计算题​

  1. 中国剩余定理

  2. 解一次同余式

    17x≡14(mod21)17x \equiv 14 \pmod{21}

10×2 证明题​

  1. 已知 a,ba, b 是正整数，cc 是 A={ax+by∣x,y∈Z}A=\{ax+by \mid x,y\in \mathbb Z\} 中的最小正整数，证明：∀d∈A,  c∣d\forall d\in A,\; c\mid d

    提示：

    由带余除法可知 c=a+bq(a>b,  q∈Z+,  c∈[0,b))c=a+bq(a>b,\; q\in \mathbb Z^+,\; c\in [0,b))
    由辗转相除法可知 c=(a,b)c=(a,b)
    又 ax+by=dax+by=d 有解的充要条件为 (a,b)∣d(a,b)\mid d
    故 c∣dc\mid d
    再另讨论 a=ba=b 时即可。

  2. 如果 mm 和 nn 是不同的素数，证明：mφ(n)+nφ(m)≡1(modmn)m^{\varphi(n)}+n^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{mn}

考试时间为 2 小时，若不卡壳可做到写完+完全检查。

2024.11.13

15:00 - 17:00