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2018-2019学年上学期期中

2018-2019学年上学期期中试卷（A）（含答案）​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 下列命题正确的是（ ）

    A. 若事件 AA 发生的概率为 0，则 AA 为不可能事件； B. 若随机变量 XX 与 YY 不独立，则 E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y) 不一定成立； C. 若 XX 是连续型随机变量，且 f(x)f(x) 是连续函数，则 Y=f(X)Y=f(X) 不一定是连续型随机变量； D. 随机变量的分布函数一定是有界连续函数。

    解：

    C

  2. 将一枚硬币独立地掷两次，设事件 A={A=\{掷第一次出现正面}\}，B={B=\{掷第二次出现正面}\}，C={C=\{正面出现两次}\}，D={D=\{正、反面各出现一次}\}，则事件（ ）

    A. A,B,DA,B,D 相互独立 B. A,B,DA,B,D 两两独立 C. B,C,DB,C,D 相互独立 D. B,C,DB,C,D 两两独立

    解：

    B

  3. 设随机变量 (X,Y)∼N(3,2,4,9,0.4)(X,Y)\sim N(3,2,4,9,0.4)，则（ ）

    A. Cov⁡(X,Y)=0.4\operatorname{Cov}(X,Y)=0.4 B. Cov⁡(X,Y)=4\operatorname{Cov}(X,Y)=4 C. Cov⁡(X,Y)=9\operatorname{Cov}(X,Y)=9 D. Cov⁡(X,Y)=2.4\operatorname{Cov}(X,Y)=2.4

    解：

    D

  4. 设随机变量 X,YX,Y 不相关，且 E(X)=2E(X)=2，E(Y)=1E(Y)=1，D(X)=3D(X)=3，则 E(X(X+Y−2))=E(X(X+Y-2))=（ ）

    A. −3-3 B. 33 C. −5-5 D. 55

    解：

    D

  5. 设两个随机变量的分布函数和密度函数分别是 F1(x),F2(x)F_1(x),F_2(x) 和 f1(x),f2(x)f_1(x),f_2(x)，则（ ）

    A. F1(x)+F2(x)F_1(x)+F_2(x) 是分布函数 B. F1(x)⋅F2(x)F_1(x)\cdot F_2(x) 是分布函数 C. f1(x)+f2(x)f_1(x)+f_2(x) 是密度函数 D. f1(x)⋅f2(x)f_1(x)\cdot f_2(x) 是密度函数

    解：

    B

  6. 设 X∼N(μ1,σ12)X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)，Y∼N(μ2,σ22)Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)，且 P{∣X−μ1∣<1}>P{∣Y−μ2∣<1}P\{|X-\mu_1|<1\}>P\{|Y-\mu_2|<1\}，则必有（ ）

    A. μ1>μ2\mu_1>\mu_2 B. σ12>σ22\sigma_1^2>\sigma_2^2 C. μ1<μ2\mu_1<\mu_2 D. σ12<σ22\sigma_1^2<\sigma_2^2

    解：

    D

  7. 设随机变量 X∼B(1,p)X\sim B(1,p)，YY 是一连续性随机变量，则 X+YX+Y 的分布函数（ ）

    A. 是连续函数； B. 是阶梯函数； C. 恰有一个间断点； D. 至少有两个间断点。

    解：

    A

  8. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的分布律为下表，若随机事件 {X=0}\{X=0\} 与 {X+Y=1}\{X+Y=1\} 相互独立，则（ ）

    X\YX\backslash Y0011
    000.40.4aa
    11bb0.10.1

    A. a=0.2,b=0.3a=0.2,b=0.3 B. a=0.1,b=0.4a=0.1,b=0.4 C. a=0.4,b=0.1a=0.4,b=0.1 D. a=0.3,b=0.2a=0.3,b=0.2

    解：

    C

  9. 设相互独立的两个随机变量 XX 与 YY 都服从 N(0,1)N(0,1)，则（ ）

    A. P{X+Y>0}=14P\{X+Y>0\}=\frac{1}{4} B. P{X−Y>0}=14P\{X-Y>0\}=\frac{1}{4} C. P{max⁡(X,Y)>0}=34P\{\max(X,Y)>0\}=\frac{3}{4} D. P{min⁡(X,Y)>0}=34P\{\min(X,Y)>0\}=\frac{3}{4}

    解：

    C

  10. 设随机变量 XX 服从参数 λ=3\lambda=3 的泊松分布，Y∼N(3,1)Y\sim N(3,1)，X,YX,Y 相互独立，根据切比雪夫不等式有 P(X−3<Y<X+3)=P(X-3<Y<X+3)=（ ）

    A. ≤0.25\le 0.25 B. ≤59\le \frac{5}{9} C. ≥0.75\ge 0.75 D. ≥59\ge \frac{5}{9}

    解：

    D

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. 设随机变量 XX 的分布函数 F(x)=0.4Φ(x)+0.6Φ(x−42)F(x)=0.4\Phi(x)+0.6\Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)，其中 Φ(x)\Phi(x) 为标准正态分布函数，则 E(X)=E(X)=______。

    解：

    2.42.4

  2. 设随机事件 AA 与 BB 相互独立，AA 与 CC 相互独立，BC=∅BC=\varnothing，若 P(A)=P(B)=12P(A)=P(B)=\frac{1}{2}，又 P(AC∣AB∪C)=14P(AC\mid AB\cup C)=\frac{1}{4}，则 P(C)=P(C)=______。

    解：

    14\frac{1}{4}

  3. 设随机变量 XX 的密度函数

    f(x)={2x,0<x<1,0,其它,f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases}

    YY 表示 XX 的 3 次独立重复事件 {X≤12}\{X\le\frac{1}{2}\} 次数，则 P{Y=2}=P\{Y=2\}=______。

    解：

    964\frac{9}{64}

  4. 设随机变量 (X,Y)(X,Y) 的联合分布函数是

    F(x,y)={0,min⁡(x,y)<0,min⁡(x,y),0≤min⁡(x,y)<1,1,min⁡(x,y)≥1,F(x,y)= \begin{cases} 0, & \min(x,y)<0,\\ \min(x,y), & 0\le \min(x,y)<1,\\ 1, & \min(x,y)\ge 1, \end{cases}

    则 XX 的分布函数为______。

    解：
    FX(x)={0,x<0,x,0≤x<1,1,x≥1.F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ x, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases}

  5. 设随机变量 XX 的分布函数为

    F(x)={0,x<10,1−10x,x≥10,F(x)= \begin{cases} 0, & x<10,\\ 1-\frac{10}{x}, & x\ge 10, \end{cases}

    用 YY 表示对 XX 的 72 次独立重复观察中事件 (X>30)(X>30) 出现的次数，则由中心极限定理得：YY 近似服从______。

    解：

    N(24,16)N(24,16)

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

附表：（其中 Φ(x)\Phi(x) 是标准正态分布函数）

xx0.100.100.200.200.400.400.780.780.940.941.001.001.111.111.201.201.401.401.501.501.601.602.002.002.502.50
Φ(x)\Phi(x)0.5300.5300.5790.5790.6550.6550.7830.7830.8270.8270.8410.8410.8670.8670.8850.8850.9190.9190.9330.9330.9450.9450.9770.9770.9940.994

  1. 观察进入华师大车辆的情况，设每小时进入华师大的车辆数服从参数为 λ\lambda 的 Poisson 分布，但每天 24 小时中 3 个时间段参数 λ\lambda 不一样：在高峰时段（早上 7:00~10:00），λ=20\lambda=20；平时时段（10:00~20:00）λ=15\lambda=15；而其余时段则是 λ=5\lambda=5。现观察者随机观察某一个小时发现进了 10 辆车，试求属于高峰时段的概率。

    解：

    设 A1={A_1=\{高峰时段}\}，A2={A_2=\{平时时段}\}，A3={A_3=\{其他时段}\}，B={B=\{某个小时进了 10 辆车}\}。则

    P(A1∣B)=P(A1)P(B∣A1)P(A1)P(B∣A1)+P(A2)P(B∣A2)+P(A3)P(B∣A3)P(A_1\mid B)= \frac{P(A_1)P(B\mid A_1)}{P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)}=324⋅201010!e−20324⋅201010!e−20+1024⋅151010!e−15+1124⋅51010!e−5=0.025.= \frac{\frac{3}{24}\cdot \frac{20^{10}}{10!}e^{-20}} {\frac{3}{24}\cdot \frac{20^{10}}{10!}e^{-20} +\frac{10}{24}\cdot \frac{15^{10}}{10!}e^{-15} +\frac{11}{24}\cdot \frac{5^{10}}{10!}e^{-5}} =0.025.

    其中可用数值为：

    λ\lambda5101520
    m=10m=100.018130.125110.048610.00582

  2. 设 XX 的密度函数为

    f(x)=12e−∣x∣,x∈(−∞,+∞).f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|},\qquad x\in(-\infty,+\infty).

    （1）E(X)E(X)。（2 分）

    （2）D(X)D(X)。（2 分）

    （3）cov⁡(X,∣X∣)\operatorname{cov}(X,|X|)。（3 分）

    （4）E(∣X∣)E(\sqrt{|X|})。（3 分）

    解：

    （1）

    E(X)=∫−∞+∞xf(x) dx=∫−∞0x12ex dx+∫0+∞x12e−x dx=0.E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx =\int_{-\infty}^{0}x\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_{0}^{+\infty}x\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=0.

    （2）

    E(X2)=∫−∞+∞x2f(x) dx=∫−∞0x212ex dx+∫0+∞x212e−x dx=2.E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{0}x^2\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_{0}^{+\infty}x^2\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=2.D(X)=E(X2)−[E(X)]2=2.D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2.

    （3）

    cov⁡(X,∣X∣)=E(X∣X∣)−E(X)E(∣X∣)=∫−∞+∞x∣x∣f(x) dx−0=0.\operatorname{cov}(X,|X|) =E(X|X|)-E(X)E(|X|) =\int_{-\infty}^{+\infty}x|x|f(x)\,dx-0=0.

    其中 x∣x∣f(x)x|x|f(x) 是奇函数。

    （4）

    E(∣X∣)=∫0+∞xe−x dxE(\sqrt{|X|})=\int_0^{+\infty}\sqrt{x}e^{-\sqrt{x}}\,dx

    令 x=t\sqrt{x}=t，有 dx=2t dtdx=2t\,dt，则原式 =2∫0∞t2e−t dt=4=2\int_0^\infty t^2e^{-t}\,dt=4。

  3. 设离散型随机变量 XX 和 YY 的联合分布律如下：

    X\YX\backslash Y0011
    000.10.10.20.2
    110.30.30.40.4

    求：

    （1）E(X−1)E(X-1)。（3 分）

    （2）E(XY)E(XY)。（4 分）

    （3）ρXY\rho_{XY}。（3 分）

    解：

    XX 的边缘分布为 P{X=0}=0.3P\{X=0\}=0.3，P{X=1}=0.7P\{X=1\}=0.7，故 E(X)=0.7E(X)=0.7，D(X)=0.21D(X)=0.21。

    YY 的边缘分布为 P{Y=0}=0.4P\{Y=0\}=0.4，P{Y=1}=0.6P\{Y=1\}=0.6，故 E(Y)=0.6E(Y)=0.6，D(Y)=0.24D(Y)=0.24。

    （1）

    E(X−1)=E(X)−1=−0.3.E(X-1)=E(X)-1=-0.3.

    （2）P{XY=0}=0.6P\{XY=0\}=0.6，P{XY=1}=0.4P\{XY=1\}=0.4，故

    E(XY)=0×0.6+1×0.4=0.4.E(XY)=0\times 0.6+1\times 0.4=0.4.

    （3）

    cov⁡(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=0.4−0.7×0.6=−0.02,\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7\times 0.6=-0.02,ρXY=cov⁡(X,Y)D(X)D(Y)≈−0.089.\rho_{XY}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\approx -0.089.

  4. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 服从区域 GG 上的均匀分布，GG 是由直线 y=1−∣x∣y=1-|x| 与 y=0y=0 围成，求：

    a）求 XX、YY 的边缘概率密度函数；（5 分）

    b）当 0≤x<10\le x<1，计算 fY∣X(y∣x)f_{Y\mid X}(y\mid x)。（5 分）

    解：

    根据题意，(X,Y)(X,Y) 的联合密度函数为

    f(x,y)={1,−1+y<x<1−y, 0<y<1,0,其它.f(x,y)= \begin{cases} 1, & -1+y<x<1-y,\ 0<y<1,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}fX(x)={1+x,−1<x<0,1−x,0≤x<1,0,其它,f_X(x)= \begin{cases} 1+x, & -1<x<0,\\ 1-x, & 0\le x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases}fY(y)={2−2y,0<y<1,0,其它.f_Y(y)= \begin{cases} 2-2y, & 0<y<1,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}

    当 0≤x<10\le x<1 时，

    fY∣X(y∣x)={11−x,0<y<1−x,0,其它.f_{Y\mid X}(y\mid x)= \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & 0<y<1-x,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}

  5. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立，X,YX,Y 的概率密度函数分别为

    fX(x)={2x,0<x<1,0,其它,fY(y)={e−y,y>0,0,其它.f_X(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases} \qquad f_Y(y)= \begin{cases} e^{-y}, & y>0,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}

    求：

    （1）(X,Y)(X,Y) 的概率密度（3 分）；

    （2）Z=X+YZ=X+Y，试求随机变量 ZZ 的概率密度函数 fZ(z)f_Z(z)（7 分）。

    解：

    （1）

    f(x,y)=fX(x)fY(y)={2xe−y,0<x<1, y>0,0,其它.f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)= \begin{cases} 2xe^{-y}, & 0<x<1,\ y>0,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}

    （2）

    fZ(z)=∫−∞+∞fX(x)fY(z−x) dx.f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.

    当 z≤0z\le 0，fZ(z)=0f_Z(z)=0；

    当 0<z≤10<z\le 1，

    fZ(z)=∫0z2xe−(z−x) dx=2z+2e−z−2;f_Z(z)=\int_0^z 2xe^{-(z-x)}\,dx=2z+2e^{-z}-2;

    当 z>1z>1，

    fZ(z)=∫012xe−(z−x) dx=2e−z.f_Z(z)=\int_0^1 2xe^{-(z-x)}\,dx=2e^{-z}.

    因此

    fZ(z)={0,z≤0,2z+2e−z−2,0<z≤1,2e−z,z>1.f_Z(z)= \begin{cases} 0, & z\le 0,\\ 2z+2e^{-z}-2, & 0<z\le 1,\\ 2e^{-z}, & z>1. \end{cases}

  6. 学校某食堂出售盒饭，共有三种价格：4 元，5 元和 6 元。出售哪种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分布 0.3，0.5 和 0.2，已知某天售出 400 盒。

    求：

    （1）这天售出盒饭的收入不少于 1925 元的概率（5 分）；

    （2）这天售出 6 元盒饭不多于 100 盒的概率（5 分）。

    解：

    （1）设 XiX_i 表示第 ii 盒盒饭的价格，Y=∑i=1400XiY=\sum_{i=1}^{400}X_i 表示这天售出 400 份盒饭的收入。由独立同分布的中心极限定理，E(Xi)=4.9E(X_i)=4.9，D(Xi)=0.49D(X_i)=0.49，所以

    Y−196014∼N(0,1).\frac{Y-1960}{14}\sim N(0,1).

    因此

    P{Y≥1925}=P{Y−196014≥1925−196014}=1−Φ(−2.5)=0.994.P\{Y\ge 1925\} =P\left\{\frac{Y-1960}{14}\ge \frac{1925-1960}{14}\right\} =1-\Phi(-2.5)=0.994.

    （2）设 ZZ 表示售出 6 元盒饭的数量，则 Z∼B(400,0.2)Z\sim B(400,0.2)，E(Z)=80E(Z)=80，D(Z)=64D(Z)=64。由中心极限定理，

    P{Z≤100}≈Φ(100−808)=Φ(2.5)=0.994.P\{Z\le 100\} \approx \Phi\left(\frac{100-80}{8}\right) =\Phi(2.5)=0.994.