2018-2019学年上学期第一次月考

2018-2019学年上学期第一次月考试卷（含答案）

说明

该卷无法判断是否为软件学院的试卷，仅供参考。

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一、选择题（共 20 分，每题 2 分）

1. 与 $\overline{A\cup B\cup C}$ 等价的是（ ）

   A. $A\cup B\cup C$ B. $A\cap B\cap C$ C. $\bar A\cap\bar B\cap\bar C$ D. $\bar A\cup\bar B\cup\bar C$

   解：

   C

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2. 设随机事件 $A$ 与 $B$ 互不相容，且有 $P(A)>0,P(B)>0$，则下列关系成立的是（ ）

   A. $A,B$ 相互独立 B. $A,B$ 不相互独立 C. $A,B$ 互为对立事件 D. $A,B$ 不互为对立事件

   解：

   B

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3. 从 $0$-$9$ 的 $10$ 个数字中任取 $3$ 个不同的数，设 $A$ 表示“三个数中都不含 $3$ 和 $4$”，则 $P(A)=$（ ）

   A. $\frac{4}{5}$ B. $\frac{7}{15}$ C. $\frac{64}{125}$ D. $\frac{3}{5}$

   解：

   B

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4. 设 $A,B$ 是两个随机事件，且 $B\subset A$，则必有（ ）

   A. $P(A\bar B)=P(A)$ B. $P(A\cup B)=P(A)$ C. $P(B\mid A)=P(B)$ D. $P(B\mid A)=P(A)$

   解：

   B

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5. 两个人抛硬币，第一个抛出正面的表演节目，问第二个人表演节目的概率为（ ）

   A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{5}{6}$

   解：

   B

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6. 下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是（ ）

   A. $F(x)=1+\frac{1}{x^2}$

   B. $F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\arctan x$

   C.

   $$F(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}(1-e^{-x}), & x>0,\\ 0, & x\le 0, \end{cases}$$

   D. $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt$，其中 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1$

   解：

   B

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7. 已知离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P\{X=k\}=(k+1)p^{k+1},k=0,1$，则 $p=$（ ）

   A. $-1$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{4}$ D. $\frac{1}{2}$

   解：

   D

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8. 已知随机变量 $X$ 的密度函数

   $$f(x)= \begin{cases} Ae^{-x}, & x\ge\lambda,\\ 0, & x<\lambda, \end{cases}$$

   $(\lambda>0,A\text{ 为常数})$，则概率 $P\{\lambda<X<\lambda+a\}$（$a>0$）的值（ ）

   A. 与 $a$ 无关，随 $\lambda$ 的增大而增大 B. 与 $a$ 无关，随 $\lambda$ 的增大而减小 C. 与 $\lambda$ 无关，随 $a$ 的增大而增大 D. 与 $\lambda$ 无关，随 $a$ 的增大而减小

   解：

   C

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9. 设 $f(x)$ 为随机变量 $X$ 的概率密度函数，且 $f(1+x)=f(1-x)$ 及 $\int_0^2 f(x)dx=0.6$，则 $P\{x\le 0\}=$（ ）

   A. $0.2$ B. $0.3$ C. $0.4$ D. $0.6$

   解：

   A

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10. 设 $X_1,X_2,X_3$ 是随机变量，且 $X_1\sim N(0,1),X_2\sim N(0,4),X_3\sim N(5,9)$，$P_i=P\{-2\le X_i\le 2\}(i=1,2,3)$，则（ ）

    A. $P_1>P_2>P_3$ B. $P_2>P_1>P_3$ C. $P_3>P_1>P_2$ D. $P_1>P_3>P_2$

    解：

    A

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二、填空题（共 20 分，每题 4 分）

1. 比赛采用五局三胜制，甲方在每一局获胜的概率为 $0.6$（没有和局），那么甲方最终获胜的概率为______。

   解：

   $0.68256$

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2. 设不等式组

   $$\begin{cases} 0\le x\le 4,\\ 0\le y\le 4 \end{cases}$$

   表示的平面区域为 $D$，在区域 $D$ 内随机取一点，则该点到原点距离大于等于 $4$ 的概率为______。

   解：

   $1-\frac{\pi}{4}$

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3. 若随机变量 $X\sim N(2,4),Y\sim N(0,9)$，且相互独立，则 $2X-Y\sim$。进一步，若 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，且 $\Phi(1)=0.8413,\Phi(2)=0.9772$，则 $P\{-6<2X-Y<9\}=$。

   解：

   $N(4,25)$；$0.8185$。

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4. 已知随机变量 $X$ 的密度函数为

   $$f(x)= \begin{cases} ax+b, & 0<x<1,\\ 0, & \text{other}, \end{cases}$$

   且 $P\{x>\frac{1}{2}\}=\frac{5}{8}$，则 $a=$，$b=$。

   解：

   $a=1$，$b=\frac{1}{2}$。

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5. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，$(\sigma>0)$，且二次方程 $y^2+4y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\mu=$______。

   解：

   $4$

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三、计算题（60 分，每小题 10 分）

1. 已知甲袋中有 $1$ 个白球 $2$ 个红球，乙袋中有 $3$ 个白球 $4$ 个红球。现在从甲袋中随机取一球放入乙袋，求此时再从乙袋随机取出一球为白球的概率。

   解：

   设事件 $A$ 表示“从乙袋中取出一球为白球”。

   设事件 $B$ 表示“从甲袋中取出一球为白球”。

   设事件 $\bar B$ 表示“从甲袋中取出一球为红球”。

   $$P(B)=\frac{1}{3},\quad P(\bar B)=\frac{2}{3}$$$$P(A\mid B)=\frac{3+1}{3+4+1}=\frac{1}{2}$$$$P(A\mid \bar B)=\frac{3}{3+4+1}=\frac{3}{8}$$$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\bar B)P(A\mid \bar B)=\frac{5}{12}$$

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2. 某道选择题有三个选项 A，B，C，每个选项是正确的可能性相同。甲乙两人分别解答这道题，甲的正确率是 $0.9$，乙的正确率是 $0.5$，两人都选择 A。那么这道题正确答案是 A 的概率是？

   解：

   （贝叶斯公式）设甲乙独立，定义

   $$A_1=\{\text{甲选 A}\},\quad A_2=\{\text{甲选 B}\},\quad A_3=\{\text{甲选 C}\}$$$$B_1=\{\text{乙选 A}\},\quad B_2=\{\text{乙选 B}\},\quad B_3=\{\text{乙选 C}\}$$$$C_1=\{\text{正确答案是 A}\},\quad C_2=\{\text{正确答案是 B}\},\quad C_3=\{\text{正确答案是 C}\}$$$$P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)=1$$$$P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)=1$$$$P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)=1$$

   目标：求 $P(C_1\mid A_1,B_1)$。

   $$P(C_1\mid A_1,B_1)=\frac{P(A_1,B_1\mid C_1)P(C_1)}{P(A_1,B_1)}$$$$=\frac{P(A_1\mid C_1)P(B_1\mid C_1)P(C_1)}{\sum_C P(A_1,B_1\mid C)}$$$$=\frac{P(A_1\mid C_1)P(B_1\mid C_1)P(C_1)}{P(A_1,B_1\mid C_1)P(C_1)+P(A_1,B_1\mid C_2)P(C_2)+P(A_1,B_1\mid C_3)P(C_3)}$$$$=\frac{0.9\times 0.5\times\frac{1}{3}}{0.9\times 0.5\times\frac{1}{3}+0.1\times 0.5\times 0.5\times 0.5\times\frac{1}{3}+0.1\times 0.5\times 0.5\times 0.5\times\frac{1}{3}}$$$$=0.947$$

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3. 有三人组队参加比赛，比赛过程中小组成员也禁止讨论。其中有一题，甲解出的概率为 $\frac{1}{2}$，乙解出的概率为 $\frac{1}{3}$，丙解出的概率为 $\frac{1}{4}$，问三人至少一人解出这题的概率是多少。

   解：

   设事件 $A_i$ 表示第 $i$ 人能解出，$i=1,2,3$。

   由题意

   $$P(A_1)=\frac{1}{2},\quad P(A_2)=\frac{1}{3},\quad P(A_3)=\frac{1}{4}$$

   且三个事件相互独立。

   $$P(A_1\cup A_2\cup A_3)=1-P(\overline{A_1\cup A_2\cup A_3})$$$$=1-P(\bar A_1\bar A_2\bar A_3)$$$$=1-P(\bar A_1)P(\bar A_2)P(\bar A_3)$$$$=1-[1-P(A_1)][1-P(A_2)][1-P(A_3)]=\frac{3}{4}$$

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4. 假设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，且 $X$ 落入区间 $(1,2)$ 的概率达到最大，求 $\lambda$ 的值。

   解：

   已知

   $$X\sim f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0,\\ 0, & x\le 0. \end{cases}$$

   故

   $$P(1<x<2)=\int_1^2\lambda e^{-\lambda x}dx=e^{-\lambda}-e^{-2\lambda}\overset{\text{记}}{=}g(\lambda)$$

   令

   $$g'(\lambda)=e^{-\lambda}(2e^{-\lambda}-1)=0$$

   解得 $\lambda_0=\ln 2$。

   又

   $$g''(\lambda)\big|_{\lambda_0}=e^{-\lambda}(1-4e^{-\lambda})\big|_{\lambda_0}=-\frac{1}{2}<0$$

   故 $g(\lambda)$ 在 $\lambda_0=\ln 2$ 处取最大值，所以 $\lambda=\ln 2$。

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5. 设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=6x(1-x),0\le x\le 1$。

   （1）验证 $f(x)$ 是概率密度函数并画出其图形；

   （2）求出 $X$ 的概率分布函数；

   （3）求满足 $P\{X<b\}=P\{X>\frac{3}{2}b\}$ 的数 $b$（$0<b<1$）；

   （4）计算 $P\left\{X\le\frac{1}{2}\mid \frac{1}{3}<X<\frac{2}{3}\right\}$。

   解：

   （1）

   $$\int_0^1 6x(1-x)dx=1$$

   （2）

   $$F(x)= \begin{cases} 1, & x>1,\\ 3x^2-2x^3, & 0\le x\le 1,\\ 0, & x<0. \end{cases}$$

   （3）

   $$b=\frac{2}{5}$$

   （4）

   $$\frac{1}{2}$$

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6. 设 $Y=\ln(X)\sim N(1,4)$，求：

   （1）$X$ 的概率密度函数；

   （2）$P\left\{\frac{1}{2}<X<2\right\}$。

   （已知 $\Phi(0.8466)=0.8014,\Phi(0.1535)=0.5602$）

   解：

   （1）依题意

   $$f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 2}e^{-\frac{(y-1)^2}{2\cdot 4}}$$

   因为 $x=e^y$ 是单调增函数，当 $y$ 取值于 $(-\infty,+\infty)$ 时，$x$ 取值于 $(0,+\infty)$，$x=e^y$ 的反函数为 $y=\ln x\overset{\triangle}{=}h(x)$，且 $h'(x)=\frac{1}{x}$，故有：

   $$f_X(x)= \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot 2}e^{-\frac{(\ln x-1)^2}{2\cdot 4}}\cdot\frac{1}{x}, & x>0,\\ 0, & x\le 0. \end{cases}$$

   （2）

   $$P\left\{\frac{1}{2}<X<2\right\} =\int_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\ln x-1)^2}{8}}\cdot\frac{1}{x}dx$$

   令 $\ln x=z$，

   $$=\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(z-1)^2}{2\cdot 2^2}}dz$$

   令 $\frac{z-1}{2}=t$，

   $$=\int_{\frac{-\ln 2-1}{2}}^{\frac{\ln 2-1}{2}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$$$$=\Phi\left(\frac{\ln 2-1}{2}\right)-\Phi\left(\frac{-\ln 2-1}{2}\right)$$$$=\Phi(-0.1535)-\Phi(-0.8466)=\Phi(0.8466)-\Phi(0.1535)$$$$=0.8014-0.5602=0.2412$$