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2019-2020学年上学期期中

2019-2020学年上学期期中试卷​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 若随机事件 A,BA,B 的概率分别为 P(A)=0.6P(A)=0.6，P(B)=0.5P(B)=0.5，则 AA 与 BB 一定（ ）

    A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D. 相容

  2. 设随机变量 ξ\xi 密度函数为 p(x)p(x)，则 η=3ξ−1\eta=3\xi-1 的密度函数 pη(y)p_\eta(y) 为（ ）

    A. 13p(y+13)\frac{1}{3}p\left(\frac{y+1}{3}\right) B. 3p(y+13)3p\left(\frac{y+1}{3}\right) C. 13p(3(y+1))\frac{1}{3}p(3(y+1)) D. 3p(y−13)3p\left(\frac{y-1}{3}\right)

  3. 设随机变量 ξ\xi 的概率密度为 f(x)f(x)，且 f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)，则对任意实数 aa，ξ\xi 的分布函数 F(x)F(x) 满足（ ）

    A. F(−a)=1−∫0af(x) dxF(-a)=1-\int_0^a f(x)\,dx

    B. F(−a)=0.5−∫0af(x) dxF(-a)=0.5-\int_0^a f(x)\,dx

    C. F(−a)=F(a)F(-a)=F(a)

    D. F(−a)=2F(a)−1F(-a)=2F(a)-1

  4. 设 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 是某个连续型随机变量 XX 的概率密度函数，则 XX 的取值范围是（ ）

    A. [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] B. [0,π][0,\pi] C. [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] D. [π,3π2]\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]

  5. 设 X1,X2,⋯ ,X9X_1,X_2,\cdots,X_9 是独立同分布服从正态总体 N(1,32)N(1,3^2)，X‾\overline{X} 表示 X1,X2,⋯ ,X9X_1,X_2,\cdots,X_9 算术平均值，则有（ ）

    A. X‾−13∼N(0,1)\frac{\overline{X}-1}{3}\sim N(0,1)

    B. X‾−11∼N(0,1)\frac{\overline{X}-1}{1}\sim N(0,1)

    C. X‾−19∼N(0,1)\frac{\overline{X}-1}{9}\sim N(0,1)

    D. X‾−13∼N(0,1)\frac{\overline{X}-1}{\sqrt{3}}\sim N(0,1)

  6. 设随机变量 XX 的分布函数为 F(x)F(x)，则 P{X=a}P\{X=a\} 的值为（ ）

    A. F(a−0)F(a-0) B. F(a)−F(0)F(a)-F(0) C. F(a)F(a) D. F(a)−F(a−0)F(a)-F(a-0)

  7. 设随机变量 XX 的密度函数为

    f(x)={3x2,0<x≤1,0,其他,f(x)= \begin{cases} 3x^2, & 0<x\le 1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

    则 E(X)=E(X)=（ ）

    A. ∫013x4 dx\int_0^1 3x^4\,dx B. ∫013x3 dx\int_0^1 3x^3\,dx C. ∫01x4 dx\int_0^1 x^4\,dx D. ∫01x3 dx\int_0^1 x^3\,dx

  8. 已知随机变量 XX 和 YY 相互独立且分别在区间 [−1,3][-1,3] 和 [2,4][2,4] 上服从均匀分布，则 E(XY)=E(XY)=（ ）

    A. 33 B. 66 C. 1010 D. 1212

  9. 设随机变量 (X,Y)∼N(3,2,4,9,0.4)(X,Y)\sim N(3,2,4,9,0.4)，则（ ）

    A. Cov⁡(X,Y)=0.4\operatorname{Cov}(X,Y)=0.4 B. Cov⁡(X,Y)=4\operatorname{Cov}(X,Y)=4 C. Cov⁡(X,Y)=9\operatorname{Cov}(X,Y)=9 D. Cov⁡(X,Y)=2.4\operatorname{Cov}(X,Y)=2.4

  10. 设 Φ(X)\Phi(X) 为标准正态分布函数，

    Xi={1,事件 A 发生,0,否则,i=1,2,⋯ ,100,X_i= \begin{cases} 1, & \text{事件 }A\text{ 发生},\\ 0, & \text{否则}, \end{cases} \qquad i=1,2,\cdots,100,

    且 P(A)=0.8P(A)=0.8，X1,X2,⋯ ,X100X_1,X_2,\cdots,X_{100} 相互独立。令 Y=∑i=1100XiY=\sum_{i=1}^{100}X_i，则由中心极限定理知 YY 的分布函数 F(y)F(y) 近似于（ ）。

    A. Φ(y)\Phi(y) B. Φ(y−804)\Phi\left(\frac{y-80}{4}\right) C. Φ(16y+80)\Phi(16y+80) D. Φ(4y+80)\Phi(4y+80)

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. 设 (X,Y)∼N(1,3;4,25;0.4)(X,Y)\sim N(1,3;4,25;0.4)，则 3X−Y+2∼3X-Y+2\sim______。

  2. 设 Xi(i=1,2,⋯ ,n)X_i(i=1,2,\cdots,n) 独立并有相同的分布 F(x)F(x)，则 min⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} 的分布函数是______。

  3. 设两个随机变量 X,YX,Y 相互独立，都服从 N(0,12)N(0,\frac{1}{2})，则 D(∣X−Y∣)D(|X-Y|) 的值为______。

  4. 设随机变量 XX 和 YY 的数学期望都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5，则根据切比雪夫不等式 P{∣X−Y∣≥6}≤P\{|X-Y|\ge 6\}\le______。

  5. 设 ξ\xi 为服从参数为 n,pn,p 的二项分布的随机变量，则当 n→∞n\to\infty 时，ξ−npnp(1−p)\frac{\xi-np}{\sqrt{np(1-p)}} 服从______分布。

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

附表：（其中 Φ(x)\Phi(x) 是标准正态分布函数）

xx0.100.100.200.200.400.400.780.780.940.941.001.001.111.111.201.201.401.401.501.501.641.641.6451.6451.651.65
Φ(x)\Phi(x)0.5300.5300.5790.5790.6550.6550.7830.7830.8270.8270.8410.8410.8670.8670.8850.8850.9190.9190.9330.9330.94950.94950.950.950.95050.9505

  1. 设随机变量 XX 的密度函数为

    f(x)={Ax,0≤x<1,B−x,1≤x<2,0,其他,f(x)= \begin{cases} Ax, & 0\le x<1,\\ B-x, & 1\le x<2,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

    是连续函数。试求：

    （1）常数 A,BA,B；（4 分）

    （2）Y=1−X3Y=1-\sqrt[3]{X} 的密度函数。（6 分）

  2. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立，XX 服从 (0,1)(0,1) 上的均匀分布，YY 的概率密度函数为

    fY(y)={12e−y2,y>0,0,y≤0.f_Y(y)= \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y}{2}}, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases}

    （1）求 XX 与 YY 的联合密度函数；（5 分）

    （2）求含有 α\alpha 的二次方程 α2+2Xα+Y=0\alpha^2+2X\alpha+Y=0 有实根的概率。（5 分）

  3. 设 nn 个随机变量 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 相互独立且都服从 [0,θ][0,\theta] 上的均匀分布，试求 M=max⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}M=\max\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} 和 N=min⁡{X1,X2,⋯ ,Xn}N=\min\{X_1,X_2,\cdots,X_n\} 的概率密度函数。

  4. 设随机变量 XX 的取值为 −1-1 或 11，且其分布律为

    p(X=x)=(1−μ2)1−x2(1+μ2)1+x2,p(X=x)=\left(\frac{1-\mu}{2}\right)^{\frac{1-x}{2}} \left(\frac{1+\mu}{2}\right)^{\frac{1+x}{2}},

    其中 μ∈(−1,1)\mu\in(-1,1)。

    （1）说明 p(x)p(x) 确是概率分布（3 分）

    （2）计算 E(X)E(X)（2 分）

    （3）计算 D(X)D(X)（2 分）

    （4）计算 E(−ln⁡p(X))E(-\ln p(X))（3 分）

  5. 设 ξ\xi 与 η\eta 为两个随机变量，且 P(η=1)=P(η=−1)=0.5P(\eta=1)=P(\eta=-1)=0.5，

    P(ξ≤x∣η=k)=12π∫−∞xe−(s−k)22 ds,(k=±1)P(\xi\le x\mid \eta=k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(s-k)^2}{2}}\,ds,\qquad (k=\pm 1)

    （1）求 ξ\xi 的密度函数（3 分）

    （2）求 ξ\xi 的数学期望（2 分）

    （3）求 ξ\xi 的方差（2 分）

    （4）求 ξ\xi 和 η\eta 的相关系数（3 分）

  6. 卡车装运水泥，设每袋水泥重量（以公斤计）服从正态分布 N(50,2.52)N(50,2.5^2)，问最多装多少袋水泥使总重量超过 2000 的概率不大于 0.050.05。