2023-2024学年上学期期中

2023-2024学年上学期期中试卷（A）（含答案）

一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）

1. 设 $A,B$ 为两个相互独立的随机事件，且 $A,B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9}$，$A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $A$ 不发生 $B$ 发生的概率相等。求 $A$ 发生的概率是（ ）

   A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{2}{9}$ C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{1}{9}$

   解：

   A

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2. 甲乙两人约定上午 9 点到 10 点之间约会，两人到达时间差不超过 10 分钟则约会成功，两人到达时间差超过 10 分钟则约会失败。求两者约会成功的概率是（ ）

   A. $\frac{1}{36}$ B. $\frac{11}{36}$ C. $\frac{1}{26}$ D. $\frac{11}{26}$

   解：

   B

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3. 设 $X,Y$ 为随机变量，且 $P\{X\ge 0\}=\frac{1}{2}$，$P\{Y\ge 0\}=\frac{3}{5}$，$P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{1}{4}$。求 $P\{\min(X,Y)<0\}$ 和 $P\{\max(X,Y)\ge 0\}$ 分别为（ ）

   A. $\frac{1}{4}$；$\frac{7}{10}$ B. $\frac{1}{12}$；$\frac{5}{9}$ C. $\frac{7}{15}$；$\frac{3}{8}$ D. $\frac{3}{4}$；$\frac{17}{20}$

   解：

   D

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4. 已知甲口袋中有 2 个白球和 4 个黑球，乙口袋中有 3 个白球和 3 个黑球，从甲口袋中取两个球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一个球。计算：① 取出的球为黑球的概率；② 若已知乙口袋取出的球为黑球，则甲口袋取出的 2 个球是白球的概率。则以下选项正确的是（ ）

   A. ① $\frac{7}{24}$；② $\frac{3}{65}$ B. ① $\frac{13}{24}$；② $\frac{3}{65}$ C. ① $\frac{1}{24}$；② $\frac{7}{65}$ D. ① $\frac{11}{24}$；② $\frac{7}{65}$

   解：

   B

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5. 设随机变量 $\xi$ 密度函数为 $p(x)$，则 $\eta=3\xi-1$ 的密度函数 $p_\eta(y)$ 为（ ）

   A. $\frac{1}{3}p\left(\frac{y+1}{3}\right)$ B. $3p\left(\frac{y+1}{3}\right)$ C. $\frac{1}{3}p(3(y+1))$ D. $3p\left(\frac{y-1}{3}\right)$

   解：

   A

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6. 离散随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，且 $x_{k-1}<x_k<x_{k+1}$，则 $P\{X=x_k\}=$（ ）

   A. $P\{x_{k-1}\le X\le x_k\}$ B. $F(x_{k+1})-F(x_{k-1})$ C. $P\{x_{k-1}<X<x_{k+1}\}$ D. $F(x_k)-F(x_{k-1})$

   解：

   D

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7. 设 $f(x)$ 为某分布的概率密度函数，$f(1+x)=f(1-x)$，$\int_0^2 f(x)\,dx=0.6$，则 $P\{X<0\}=$（ ）

   A. $0.2$ B. $0.3$ C. $0.4$ D. $0.6$

   解：

   A

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8. 设两个随机变量的分布函数和密度函数分别是 $F_1(x),F_2(x)$ 和 $f_1(x),f_2(x)$。则（ ）

   A. $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数 B. $F_1(x)\cdot F_2(x)$ 是分布函数 C. $f_1(x)+f_2(x)$ 是密度函数 D. $f_1(x)\cdot f_2(x)$ 是密度函数

   解：

   B

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9. 设随机变量 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $U=X+Y$，$V=X-Y$ 不相关的充分必要条件为（ ）

   A. $EX=EY$ B. $E(X^2)-(EX)^2=E(Y^2)-(EY)^2$ C. $E(X^2)=E(Y^2)$ D. $E(X^2)+(EX)^2=E(Y^2)+(EY)^2$

   解：

   B

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10. 将一枚骰子重复掷 $n$ 次，则当 $n\to\infty$ 时，$n$ 次掷出点数的算术平均值 $\overline{X}_n$ 依概率收敛于（ ）

    A. $\frac{n}{6}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{7}{2}$ D. $\frac{7n}{2}$

    解：

    C

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二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

11. 设 $A,B,C$ 是三个事件，且 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$，$P(AB)=P(BC)=0$，$P(AC)=\frac{1}{8}$。则 $A,B,C$ 至少有一个发生的概率是______。

    解：

    $\frac{5}{8}$

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12. 甲、乙两人向同一个目标射击，命中率分别为 $0.5$ 和 $0.6$。若甲、乙两人同时向目标射击，命中的概率记为 $P(A)$；若甲、乙两人同时向目标射击，已知目标被命中，该目标是甲命中的概率记为 $P(B)$。则 $P(A)-P(B)=$______。

    解：

    $\frac{7}{40}$

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13. 设随机变量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，且二次方程 $y^2+4y+X=0$ 无实根的概率等于 $0.5$，则 $\mu=$______。

    解：

    $4$

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14. 设随机变量 $X$ 的概率密度为

    $$f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2}, & 0<x<2,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

    $F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$E(X)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)>E(X)-1\}=$______。

    解：

    $\frac{2}{3}$

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15. 设 $X,Y$ 为随机变量，数学期望都是 $2$，方差分别为 $1$ 和 $4$，相关系数为 $0.5$，则由切比雪夫不等式，$P\{|X-Y|\ge 6\}\le$______。

    解：

    $\frac{1}{12}$

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三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）

附表：

$x$	1.20	1.34	1.50	1.645	2.00	2.50	2.60
$\Phi(x)$	0.855	0.9099	0.933	0.95	0.977	0.994	0.995

16. 设第一只盒子中装有 4 只蓝色球、3 只绿色球、2 只白色球，第二只盒子中装有 3 只蓝色球、5 只绿色球、4 只白色球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。

    (1) 求至少有 1 只蓝色球的概率。

    (2) 求有 1 只蓝色球、1 只白色球的概率。

    (3) 已知至少有 1 只蓝色球，求有 1 只蓝色球、1 只白色球的概率。

    解：

    以 $B_i$ 记事件“从第 $i$ 只盒子中取得一只蓝色球”，以 $W_i$ 记事件“从第 $i$ 只盒子中取得一只白色球”，$i=1,2$。由题设在不同盒子中取球是相互独立的。

    (1) 即需求 $P(B_1\cup B_2)$。利用对立事件来求较方便，即有

    $$P(B_1\cup B_2)=1-P(\overline{B_1}\overline{B_2}) =1-P(\overline{B_1})P(\overline{B_2}) =1-\frac{5}{9}\times\frac{9}{12} =\frac{7}{12}.$$

    (2) 即需求事件 $B_1W_2\cup B_2W_1$ 的概率，注意到 $B_1,W_1$ 是互不相容的，因而 $(B_1W_2)(B_2W_1)=\varnothing$，故有

    $$P(B_1W_2\cup B_2W_1)=P(B_1W_2)+P(B_2W_1) =P(B_1)P(W_2)+P(B_2)P(W_1) =\frac{11}{54}.$$

    (3) 即需要条件概率

    $$p=P(B_1W_2\cup B_2W_1\mid B_1\cup B_2).$$

    因 $B_1W_2\cup B_2W_1\subset B_1\cup B_2$，故有

    $$p=\frac{P(B_1W_2\cup B_2W_1)}{P(B_1\cup B_2)} =\frac{22}{63}.$$

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17. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

    $$f(x,y)= \begin{cases} be^{-(x+y)}, & 0<x<1,\ 0<y<\infty,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

    试求：

    (1) 确定常数 $b$；（3 分）

    (2) 求边缘概率密度 $f_X(x)$ 与 $f_Y(y)$；（4 分）

    (3) 求函数 $U=\max\{X,Y\}$ 的分布函数。（3 分）

    解：

    (1)

    $$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dxdy=1,$$$$\int_0^\infty\int_0^1 be^{-(x+y)}\,dxdy=1,$$$$b\left[\int_0^\infty e^{-y}\,dy\right]\left[\int_0^1 e^{-x}\,dx\right]=1,$$$$b(1-e^{-1})=1,$$

    得

    $$b=\frac{1}{1-e^{-1}}=\frac{e}{e-1}.$$

    (2)

    $$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dy = \begin{cases} \frac{e^{-x}}{1-e^{-1}}, & 0<x<1,\\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$$$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx = \begin{cases} e^{-y}, & y>0,\\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$

    (3) 由 (2) 知 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$，故 $X,Y$ 相互独立。分别记 $U=\max\{X,Y\}$、$X$ 和 $Y$ 的分布函数为 $F_U(u)$、$F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$，则有

    $$F_U(u)=F_X(u)F_Y(u).$$

    由 (2) 知

    $$F_X(u)= \begin{cases} 0, & u<0,\\ \frac{1-e^{-u}}{1-e^{-1}}, & 0\le u<1,\\ 1, & u\ge 1, \end{cases}$$$$F_Y(u)= \begin{cases} 0, & u<0,\\ 1-e^{-u}, & u\ge 0. \end{cases}$$

    代入得

    $$F_U(u)= \begin{cases} 0, & u<0,\\ \frac{(1-e^{-u})^2}{1-e^{-1}}, & 0\le u<1,\\ 1-e^{-u}, & u\ge 1. \end{cases}$$

    ---

18. 设随机变量 $X$ 的概率密度为

    $$f(x)= \begin{cases} a+bx^2, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$

    已知 $EX=\frac{3}{5}$，求 $DX$。

    解：

    由

    $$1=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx=\int_0^1(a+bx^2)\,dx=a+\frac{1}{3}b,$$

    得

    $$3a+b=3.$$

    再由

    $$\frac{3}{5}=EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx=\int_0^1(ax+bx^3)\,dx=\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}b,$$

    得

    $$2a+b=\frac{12}{5}.$$

    联立解得 $a=\frac{3}{5}$，$b=\frac{6}{5}$，代入 $f(x)$ 表达式中，即得

    $$DX=EX^2-(EX)^2 =\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$=\frac{3}{5}\int_0^1x^2(1+2x^2)\,dx-\frac{9}{25} =\frac{11}{25}-\frac{9}{25} =\frac{2}{25}.$$

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19. 设 $A,B$ 为两个随机事件，且 $P(A)=\frac{1}{4}$，$P(B\mid A)=\frac{1}{3}$，$P(A\mid B)=\frac{1}{2}$。令

    $$X= \begin{cases} 1, & A\text{ 发生},\\ 0, & A\text{ 不发生}, \end{cases} \quad Y= \begin{cases} 1, & B\text{ 发生},\\ 0, & B\text{ 不发生}. \end{cases}$$

    求：

    (1) 二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布；

    (2) $X,Y$ 的相关系数 $\rho_{XY}$。

    解：

    (1) $(X,Y)$ 的所有取值为 $(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)$。有

    $$P(AB)=P(A)P(B\mid A)=\frac{1}{12},\quad P(B)=\frac{P(AB)}{P(A\mid B)}=\frac{1}{6}.$$

    因此

    $$P\{X=0,Y=0\}=1-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{12}=\frac{2}{3},$$$$P\{X=0,Y=1\}=\frac{1}{6}-\frac{1}{12}=\frac{1}{12},$$$$P\{X=1,Y=0\}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6},$$$$P\{X=1,Y=1\}=\frac{1}{12}.$$

    从而 $(X,Y)$ 的概率分布为：

    $X\backslash Y$	0	1	$P_{i\cdot}$
    0	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{3}{4}$
    1	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$
    $P_{\cdot j}$	$\frac{5}{6}$	$\frac{1}{6}$	1

    (2) 由 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律，得 $X$ 与 $Y$ 的边缘分布律分别为

    $$X\sim \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad Y\sim \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \end{pmatrix}.$$

    从而

    $$EX=\frac{1}{4},\quad E(X^2)=\frac{1}{4},\quad DX=\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{3}{16},$$$$EY=\frac{1}{6},\quad E(Y^2)=\frac{1}{6},\quad DY=\frac{1}{6}-\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{5}{36}.$$$$E(XY)=\frac{1}{12},\quad \operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-EXEY=\frac{1}{24}.$$

    因此

    $$\rho_{XY}=\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}=\frac{1}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{15}.$$

    ---

20. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域

    $$D=\{(x,y)\mid 0<x<1,\ x^2<y<\sqrt{x}\}$$

    上服从均匀分布，令

    $$U= \begin{cases} 1, & X\le Y,\\ 0, & X>Y. \end{cases}$$

    试求：

    (1) 写出 $(X,Y)$ 的概率密度；（3 分）

    (2) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由；（3 分）

    (3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$。（4 分）

    解：

    (1) 区域 $D$ 的面积为

    $$\int_0^1 dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}dy =\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx =\frac{1}{3},$$

    因此 $(X,Y)$ 的概率密度为

    $$f(x,y)= \begin{cases} 3, & (x,y)\in D,\\ 0, & \text{else}. \end{cases}$$

    (2) 对于 $0<t<1$，

    $$P\{U\le 0,X\le t\}=P\{X>Y,X\le t\} =\int_0^t dx\int_{x^2}^{x}3\,dy =\frac{3}{2}t^2-t^3,$$$$P\{U\le 0\}=P\{X>Y\}=\frac{1}{2},$$$$P\{X\le t\}=\int_0^t dx\int_{x^2}^{\sqrt{x}}3\,dy=2t^{3/2}-t^3.$$

    由于

    $$P\{U\le 0,X\le t\}\ne P\{U\le 0\}P\{X\le t\},$$

    所以 $U$ 与 $X$ 不相互独立。

    (3) 当 $z<0$ 时，$F_Z(z)=0$；当 $0\le z<1$ 时，

    $$F_Z(z)=P\{Z\le z\}=P\{U=0,X\le z\}=P\{X>Y,X\le z\} =\frac{3}{2}z^2-z^3.$$

    当 $1\le z<2$ 时，

    $$F_Z(z)=P\{U=0,X\le z\}+P\{U=1,X\le z-1\} =\frac{1}{2}+2(z-1)^{3/2}-\frac{3}{2}(z-1)^2.$$

    当 $z\ge 2$ 时，$F_Z(z)=1$。

    所以

    $$F_Z(z)= \begin{cases} 0, & z<0,\\ \frac{3}{2}z^2-z^3, & 0\le z<1,\\ \frac{1}{2}+2(z-1)^{3/2}-\frac{3}{2}(z-1)^2, & 1\le z<2,\\ 1, & z\ge 2. \end{cases}$$

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21. 计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在 $(-0.5,0.5)$ 上服从均匀分布。

    (1) 若将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？

    (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90？

    解：

    设每个加数的舍入误差为 $X_i(i=1,2,\ldots,1500)$，由题设知 $X_i$ 独立同分布，且在 $(-0.5,0.5)$ 上服从均匀分布，从而

    $$E(X_i)=\frac{-0.5+0.5}{2}=0,\quad D(X_i)=\frac{(0.5+0.5)^2}{12}=\frac{1}{12}.$$

    (1) 设 $X=\sum_{i=1}^{1500}X_i$，由独立同分布的中心极限定理，随机变量

    $$\frac{X-1500\times 0}{\sqrt{1500}\times\sqrt{\frac{1}{12}}}$$

    近似服从 $N(0,1)$，从而

    $$P\{|X|>15\}=1-P\{|X|\le 15\}$$$$=1-P\left\{-\frac{15}{\sqrt{125}}\le \frac{X}{\sqrt{125}}\le \frac{15}{\sqrt{125}}\right\} \approx 2-2\Phi(1.34)=0.1802.$$

    即误差总和的绝对值超过 15 的概率约为 $0.1802$。

    (2) 记 $Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$，要使 $P\{|Y|<10\}\ge 0.90$。由独立同分布的中心极限定理，近似地有

    $$P\{|Y|<10\}=P\{-10<Y<10\}$$$$=P\left\{-\frac{10}{\sqrt{n/12}}<\frac{Y}{\sqrt{n/12}}<\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right\} \approx 2\Phi\left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)-1\ge 0.90.$$

    即

    $$\Phi\left(\frac{10}{\sqrt{n/12}}\right)\ge 0.95.$$

    查表得

    $$\frac{10}{\sqrt{n/12}}\ge 1.645,$$

    故

    $$n\le 443.$$

    即最多有 443 个数相加使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。