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2023-2024学年上学期期中

2023-2024学年上学期期中试卷（A）​

一、（本题满分 10 分）​

计算行列式

D=∣abcdaa+ba+b+ca+b+c+da2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+da3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d∣D= \begin{vmatrix} a & b & c & d \\ a & a+b & a+b+c & a+b+c+d \\ a & 2a+b & 3a+2b+c & 4a+3b+2c+d \\ a & 3a+b & 6a+3b+c & 10a+6b+3c+d \end{vmatrix}
∣123x23x13x12x123∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & x \\ 2 & 3 & x & 1 \\ 3 & x & 1 & 2 \\ x & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}

二、（本题满分 15 分）​

计算行列式

∣x1−a1x2x3⋯xnx1x2−a2x3⋯xnx1x2x3−a3⋯xn⋯⋯⋯⋯⋯x1x2x3⋯xn−an∣\begin{vmatrix} x_1-a_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2-a_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3-a_3 & \cdots & x_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n-a_n \end{vmatrix}
D=∣123⋯n−1n223⋯n−1n333⋯n−1n⋮⋮⋮⋱⋮⋮n−1n−1n−1⋯n−1nnnn⋯nn∣D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 3 & 3 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1 & n \\ n & n & n & \cdots & n & n \end{vmatrix}

三、（本题满分 10 分）​

已知行列式

D=∣310402−1111213527∣,D= \begin{vmatrix} 3 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 2 & 7 \end{vmatrix},

Mij,AijM_{ij},A_{ij} 分别是 DD 中元素 aija_{ij} 的余子式和代数余子式，试求：

  1. 4M42+2M43+2M444M_{42}+2M_{43}+2M_{44}

  2. A41+A42+A43+A44A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}

四、（本题满分 8 分）​

已知 a2≠b2a^2\ne b^2，证明方程组：

{ax1+bx2n=1,ax2+bx2n−1=1,⋯axn+bxn+1=1,bxn+axn+1=1,⋯bx2+ax2n−1=1,bx1+ax2n=1\left\{ \begin{aligned} ax_1+bx_{2n} &= 1,\\ ax_2+bx_{2n-1} &= 1,\\ &\cdots\\ ax_n+bx_{n+1} &= 1,\\ bx_n+ax_{n+1} &= 1,\\ &\cdots\\ bx_2+ax_{2n-1} &= 1,\\ bx_1+ax_{2n} &= 1 \end{aligned} \right.

有唯一解，并求解。

五、（本题满分 7 分）​

问 λ,μ\lambda,\mu 取何值时，齐次线性方程组

{λx1+x2+x3=0,x1+μx2+x3=0,x1+2μx2+x3=0\left\{ \begin{aligned} \lambda x_1+x_2+x_3 &= 0,\\ x_1+\mu x_2+x_3 &= 0,\\ x_1+2\mu x_2+x_3 &= 0 \end{aligned} \right.

有非零解？

六、（本题满分 15 分）​

设 nn 阶方阵

A=(2a10⋯0a22a1⋱⋮0a22a⋱0⋮⋱⋱⋱10⋯0a22a).A= \begin{pmatrix} 2a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^2 & 2a & 1 & \ddots & \vdots \\ 0 & a^2 & 2a & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & a^2 & 2a \end{pmatrix}.

  1. 求 det⁡(A)\det(A)。

  2. 若方程组 Ax=bAx=b 有唯一解，aa 应该如何取值，其中 b=(1,0,⋯ ,0)Tb=(1,0,\cdots,0)^T。

  3. 求方程组的解。

七、（本题满分 10 分）​

设 α=(−1,0,1)T\alpha=(-1,0,1)^T，矩阵 A=3I−ααTA=3I-\alpha\alpha^T。

  1. 求矩阵 AA；

  2. AA 是否可逆？若可逆，求 A−1A^{-1}。

八、（本题满分 10 分）​

设 nn 阶方阵 A,BA,B 和 A+BA+B 均可逆，证明：

  1. A−1+B−1A^{-1}+B^{-1} 也可逆，且

    (A−1+B−1)−1=A(A+B)−1B=B(A+B)−1A;(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(A+B)^{-1}A;
(A+B)−1=A−1−A−1(A−1+B−1)−1A−1(A+B)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}(A^{-1}+B^{-1})^{-1}A^{-1}

九、（本题满分 15 分）​

设 nn 阶方阵 A,BA,B 满足 A+B=ABA+B=AB。

  1. 证明：A−IA-I 可逆。

  2. 证明：AB=BAAB=BA。

  3. 若

    B=(120340005),B= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix},

    求 AA。