2024-2025学年下学期期末

2024-2025学年下学期期末试卷（A）

一、选择题

1. 关于变量 $x,y,z$ 的方程 $(k+3)x^2-y^2=(k-3)z$，随着实数参数 $k$ 的变化，不可能描述的曲面类型是 $\underline{\qquad}$

   A. 椭圆抛物面

   B. 抛物柱面

   C. 椭圆柱面

   D. 双曲抛物面

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2. 在给定一点处，多元函数的可微是函数连续的 $\underline{\qquad}$ 条件，又是偏导数连续的 $\underline{\qquad}$ 条件。

   A. 充分，充分

   B. 充分，必要

   C. 必要，充分

   D. 必要，必要

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3. 空间中圆柱体 $x^2+y^2\le 2yz$ 与平面 $y=z$ 相交的面积是 $\underline{\qquad}$

   A. $\sqrt{2}\pi$

   B. $2\pi$

   C. $2\sqrt{2}\pi$

   D. 无法计算

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4. 如果 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 绝对收敛，而 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}v_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_n+v_n)$ 是 $\underline{\qquad}$ 的

   A. 绝对收敛

   B. 条件收敛

   C. 发散

   D. 无法判断

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5. 微分方程 $y''=C\ (C\in\mathbb{R})$ 有 $\underline{\qquad}$ 个解

   A. 1

   B. 2

   C. 无穷多

   D. 无法判断

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二、填空题

1. 在曲线 $z=x^3,\ y=x^2\ (x>0)$ 上求一点，使之切线与平面 $x+y-z=6$ 平行。该点坐标是 $\underline{\qquad}$

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2. 设曲线 $f(x,y)=(x-1)^2-y^2$，方向 $\vec{u}=\left(\dfrac{3}{5},-\dfrac{4}{5}\right)$，$f$ 在点 $(0,1)$ 处沿方向 $\vec{u}$ 的方向导数是 $\underline{\qquad}$

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3. 对于空间中的区域 $\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 4x\}$，它的球面坐标表示是 $\underline{\qquad}$

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4. $\ln(1-x^2)$ 在 $x=0$ 处的 Taylor 级数是 $\underline{\qquad}$

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5. 对于复数 $z=x-iy\ (x,y\in\mathbb{R})$，$e^z$ 的虚部是 $\underline{\qquad}$

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三、解答题

1. 对于二元函数 $u(x,y)=e^x\cos y$，验证

   $$\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u(x,y)}{\partial y^2}=0.$$

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2. 求由椭圆抛物面 $z=a^2x^2+b^2y^2\ (a>0,b>0)$ 和平面 $z=h\ (h>0)$ 围成区域的体积。

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3. 设 $l$ 为平面上从点 $(1,0)$ 到点 $(0,1)$ 的有向直线线段，计算第二类曲线积分

   $$\int_L\frac{3x^2y^2}{1+x^3y^2}\,dx+\frac{2x^3y}{1+x^3y^2}\,dy.$$

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4. 判断下面两个级数的收敛性，并说明原因：

   $$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin\frac{1}{n}\right) \quad\text{和}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+2}{2n}\right)^{2n}.$$

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5. 对于函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，定义它们的内积为

   $$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)g(x)\,dx,$$

   证明下面集合中的函数是两两正交的：

   $$\{1\}\cup\bigcup_{n=1}^{\infty}\{\sin nx+\cos nx,\ \sin nx-\cos nx\}.$$

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6. 求解一阶线性非齐次方程：

   $$y'-3x^2y=(x+1)e^{x^3}.$$