2017-2018学年下学期期中

2017-2018学年下学期期中试卷（A）（含答案）

一、选择题（每题 3 分，共 18 分）

某质点作直线运动的运动学方程为 $x=3t-5t^3+6\ (\mathrm{SI})$ ，则该质点作（）。

A. 匀加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴正方向

B. 匀加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴负方向

C. 变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴正方向

D. 变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴负方向

答案：
D
某物体的运动规律为 $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv^2t$ ，式中的 $k$ 为大于零的常量。当 $t=0$ 时，初速为 $v_0$ ，则速度 $v$ 与时间 $t$ 的函数关系是（）。

A. $\dfrac{1}{v}=\dfrac{kt^2}{2}+\dfrac{1}{v_0}$

B. $v=-\dfrac{1}{2}kt^2+v_0$

C. $v=\dfrac{1}{2}kt^2+v_0$

D. $\dfrac{1}{v}=-\dfrac{kt^2}{2}+\dfrac{1}{v_0}$

答案：
A
质量分别为 $m_A$ 和 $m_B$ （ $m_A>m_B$ ）、速度分别为 $\vec v_A$ 和 $\vec v_B$ （ $v_A>v_B$ ）的两质点 A 和 B，受到相同的冲量作用，则（）。

A. A 的动量增量的绝对值比 B 的小

B. A 的动量增量的绝对值比 B 的大

C. A、B 的动量增量相等

D. A、B 的速度增量相等

答案：
C
花样滑冰运动员绕自身的竖直轴转动，开始时臂伸开，转动惯量为 $J_0$ ，角速度为 $\omega_0$ ，然后她将两臂收回，使转动惯量减少为 $J=\dfrac{1}{3}J_0$ 。这时她转动的角速度变为（）。

A. $\dfrac{1}{3}\omega_0$

B. $\dfrac{1}{\sqrt 3}\omega_0$

C. $3\omega_0$

D. $\sqrt 3\omega_0$

答案：
C
如图所示，边长为 $l$ 的正方形，在其四个顶点上各放有等量的点电荷。若正方形中心 O 处的场强值和电势值都等于零，则（）。

A. 顶点 a、b、c、d 处都是正电荷

B. 顶点 a、c 处是正电荷，b、d 处是负电荷

C. 顶点 a、b 处是正电荷，c、d 处是负电荷

D. 顶点 a、b、c、d 处都是负电荷

答案：
B
已知某电场的电场线分布情况如图所示。现观察到一负电荷从 M 点移到 N 点。有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？

A. 电势能 $W_M<W_N$

B. 电势 $U_M<U_N$

C. 电场强度 $E_M<E_N$

D. 电场力的功 $A>0$

答案：
A

二、填空题（每空 3 分，共 27 分）

假如地球半径缩短 $1\%$ ，而它的质量保持不变，则地球表面的重力加速度 $g'$ 与原来地球表面的重力加速度 $g$ 之比是 $\underline{\qquad}$ 。

答案：
$1.02$
一圆锥摆摆长为 $l$ 、摆锤质量为 $m$ ，在水平面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角 $\theta$ ，则

（1）摆锤的速率 $v=\underline{\qquad}$ ；

（2）摆锤对虚线轴的角动量 $L=\underline{\qquad}$ 。

答案：
（1） $\displaystyle \sin\theta\sqrt{\frac{gl}{\cos\theta}}$
（2） $\displaystyle ml\sin^2\theta\sqrt{\frac{gl}{\cos\theta}}$
一质点沿直线运动，其坐标 $x$ 与时间 $t$ 有如下关系：

$x=Ae^{-\beta t}\cos\omega t\quad(\mathrm{SI})$

（ $A$ 、 $\beta$ 皆为常数）

（1）任意时刻 $t$ 质点的加速度 $a=\underline{\qquad}$ ；

（2）质点通过原点的时刻 $t=\underline{\qquad}$ 。

答案：
（1） $Ae^{-\beta t}\left[(\beta^2-\omega^2)\cos\omega t+2\beta\omega\sin\omega t\right]$
（2） $\dfrac{1}{2}(2n+1)\pi/\omega\quad(n=0,1,2,\ldots)$
一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动。使棒从水平位置自由下摆，棒是否作匀角加速转动？ $\underline{\qquad}$ 。理由是 $\underline{\qquad}$ 。

答案：
否。
在棒的自由下摆过程中，转动惯量不变，但使棒下摆的力矩随棒的下摆而减小。由转动定律知棒摆动的角加速度也要随之变小。
半径为 $R$ 、具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳，绳的下端挂一质量为 $m$ 的物体。绳的质量可以忽略，绳与定滑轮之间无相对滑动。若物体下落的加速度为 $a$ ，则定滑轮对轴的转动惯量 $J=\underline{\qquad}$ 。

答案：
$\displaystyle \frac{m(g-a)R^2}{a}$
A、B 为两个电容值都等于 $C$ 的电容器，已知 A 带电荷为 $Q$ ，B 带电荷为 $2Q$ 。现将 A、B 并联（A、B 的正极相连，负极相连）后，系统电场能量的增量 $\Delta W=\underline{\qquad}$ 。

答案：
$\displaystyle -\frac{Q^2}{4C}$

三、计算题（13—17 题，每题 9 分；18 题 10 分，共 55 分）

一质点沿 $x$ 轴运动，其加速度 $a$ 与位置坐标 $x$ 的关系为 $a=2+6x^2\ (\mathrm{SI})$ 。如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。

解：
设质点在 $x$ 处的速度为 $v$ ，
$a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2+6x^2 \qquad 3\text{分}$
$\int_0^v v\,\mathrm{d}v=\int_0^x(2+6x^2)\,\mathrm{d}x \qquad 3\text{分}$
$v=2(x+x^3)^{1/2} \qquad 3\text{分}$
一名宇航员将去月球。他带有一个弹簧秤和一个质量为 $1.0\ \mathrm{kg}$ 的物体 A。到达月球上某处时，他拾起一块石头 B，挂在弹簧秤上，其读数与地面上挂 A 时相同。然后，他把 A 和 B 分别挂在跨过定滑轮的轻绳的两端，定滑轮质量为 $0.5\ \mathrm{kg}$ ，半径为 $0.1\ \mathrm{m}$ ，如图所示。若月球表面的重力加速度为 $1.67\ \mathrm{m/s^2}$ ，求石块 B 的加速度？

解：
设地球和月球表面的重力加速度分别为 $g_1$ 和 $g_2$ ，在月球上 A、B 受力如图，则有
$m_2g_2-T_1=m_2a \tag{1}\qquad 1\text{分}$
$T_2-m_1g_2=m_1a \tag{2}\qquad 1\text{分}$
$(T_1-T_2)R=\frac{Ja}{R},\qquad J=\frac{mR^2}{2}$
又
$m_1g_1=m_2g_2 \tag{3}\qquad 2\text{分}$
联立解（1）、（2）、（3）可得
$a=\frac{g_1-g_2}{1+(g_1/g_2)+(m/2)}=1.14\ \mathrm{m/s^2}\qquad 2\text{分}$
即 B 以 $1.18\ \mathrm{m/s^2}$ 的加速度下降。 2分
即在平衡位置上方 $19.6\ \mathrm{cm}$ 处开始分离，由 $a_{\max}=\omega^2A>g$ ，可得
$A>g/\omega^2=19.6\ \mathrm{cm}.\qquad 1\text{分}$
提示
原参考答案先计算得到 $1.14\ \mathrm{m/s^2}$ ，随后却写为 $1.18\ \mathrm{m/s^2}$ 。按题目所给数据重新计算，石块 B 的加速度约为 $1.14\ \mathrm{m/s^2}$ 。答案末尾关于“在平衡位置上方 $19.6\ \mathrm{cm}$ 处开始分离”的内容也与本题条件无关，疑似混入了其他题目的解答；以上内容均按原参考答案保留。
设两粒子之间的相互作用力为排斥力 $f$ ，其变化规律为 $f=\dfrac{k}{r^3}$ ， $k$ 为常数， $r$ 为二者之间的距离，试问：（1） $f$ 是保守力吗？为什么？（2）若是保守力，求两粒子相距为 $r$ 时的势能。设无穷远处为零势能位置。

解：
根据问题中给出的力 $f=\dfrac{k}{r^3}$ ，只与两个粒子之间位置有关，所以相对位置从 $r_1$ 变化到 $r_2$ 时，力做的功为：
$A=\int_{r_1}^{r_2}\frac{k}{r^3}\,\mathrm{d}r=-\frac{1}{2}k\left(\frac{1}{r_2^2}-\frac{1}{r_1^2}\right),$
做功与路径无关，为保守力；
两粒子相距为 $r$ 时的势能：
$E_P=\int_r^\infty\frac{k}{r^3}\,\mathrm{d}r=\frac{k}{2r^2}.$
一根质量为 $m$ 、长为 $l$ 的细棒 AB 可绕一水平的光滑转轴 O 在竖直平面内转动，转轴 O 离 A 端的距离为 $l/3$ ，今使棒从静止开始由水平位置绕 O 轴转动，求：

（1）棒对转轴 O 的转动惯量；

（2）棒在水平位置上刚起动时的角加速度；

（3）棒在任一位置的角加速度。

解：
（1）求转动惯量：
方法一：
$J=\int_{-l/3}^{2l/3}x^2\lambda\,\mathrm{d}x=\frac{1}{9}ml^2.$
方法二：由平行轴定理： $J=J_c+md^2$
所以：
$J=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{6}\right)^2=\frac{1}{9}ml^2.$
（2）棒在水平位置上刚起动时的角加速度：
$M=\frac{2}{3}mg\frac{l}{3}-\frac{1}{3}mg\frac{l}{6}=\frac{1}{6}mgl.$
由转动定律：
$M=\beta J.$
所以：
$\beta=\frac{3g}{2l}.$
（3）棒在任一位置的角加速度：
$M=\frac{2}{3}mg\frac{l}{3}\cos\theta-\frac{1}{3}mg\frac{l}{6}\cos\theta=\frac{1}{6}mgl\cos\theta,$
$M=\beta J.$
所以：
$\beta=\frac{3g}{2l}\cos\theta.$
一半径为 $R$ 的带电球体，其电荷体密度分布为： $\rho=Ar\ (r\leq R)$ ， $\rho=0\ (r>R)$ ， $A$ 为一常量。试求球体内外的场强分布。

解：
在球内取半径为 $r$ 、厚为 $\mathrm{d}r$ 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为
$\mathrm{d}q=\rho\,\mathrm{d}V=Ar\cdot4\pi r^2\,\mathrm{d}r.$
在半径为 $r$ 的球面内包含的总电荷为：
$q=\int_V\rho\,\mathrm{d}V=\int_0^r4\pi Ar^3\,\mathrm{d}r=\pi Ar^4\qquad(r\leq R).$
以该球面为高斯面，按高斯定理有：
$E_1\cdot4\pi r^2=\frac{\pi Ar^4}{\varepsilon_0}.$
得到：
$E_1=\frac{Ar^2}{4\varepsilon_0},\qquad(r\leq R).$
方向沿径向， $A>0$ 时向外， $A<0$ 时向里。 5分
在球体外作一半径为 $r$ 的同心高斯球面，按高斯定理有：
$E_2\cdot4\pi r^2=\frac{\pi AR^4}{\varepsilon_0}.$
得到：
$E_2=\frac{AR^4}{4\varepsilon_0r^2},\qquad(r>R).$
方向沿径向， $A>0$ 时向外， $A<0$ 时向里。 4分
半径分别为 $1.0\ \mathrm{cm}$ 与 $2.0\ \mathrm{cm}$ 的两个球形导体，各带电荷 $1.0\times10^{-8}\ \mathrm{C}$ ，两球相距很远。若用细导线将两球相连接，求：（1）每个球所带电荷；（2）每球的电势。 $\left(\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}\right)$

解：
两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响。球上电荷均匀分布。设两球半径分别为 $r_1$ 和 $r_2$ ，导线连接后的电荷分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，而 $q_1+q_1=2q$ ，则两球电势分别是
$U_1=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0r_1},\qquad U_2=\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0r_2}.\qquad 2\text{分}$
两球相连后电势相等， $U_1=U_2$ ，则有
$\frac{q_1}{r_1}=\frac{q_2}{r_2}=\frac{q_1+q_2}{r_1+r_2}=\frac{2q}{r_1+r_2}.\qquad 2\text{分}$
由此得到
$q_1=\frac{r_1\,2q}{r_1+r_2}=6.67\times10^{-9}\ \mathrm{C}.\qquad 1\text{分}$
$q_2=\frac{r_2\,2q}{r_1+r_2}=13.3\times10^{-9}\ \mathrm{C}.\qquad 1\text{分}$
两球电势
$U_1=U_2=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0r_1}=6.0\times10^3\ \mathrm{V}.\qquad 2\text{分}$