2021-2022学年上学期期中

2021-2022学年上学期期中试卷（含答案）

一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）

1. 对任意两个事件 $A$ 和 $B$，下列说法正确的是（ ）

   A. 若 $AB\ne\varnothing$，则 $A,B$ 一定独立； B. 若 $AB\ne\varnothing$，则 $A,B$ 可能独立； C. 若 $AB=\varnothing$，则 $A,B$ 一定独立； D. 若 $AB=\varnothing$，则 $A,B$ 一定不独立；

   解：

   B

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2. 设样本空间为 $S=\{0\le X\le 2\}$，令事件 $A=\{0.5<X\le 1\}$，$B=\{0.25\le X<1.5\}$，下列哪一个事件是 $\{0.25\le X\le 0.5\}\cup\{1<X<1.5\}$：（ ）

   A. $\overline{A}B$ B. $\overline{A}\cup B$ C. $\overline{AB}$ D. $\overline{A\cup B}$

   解：

   A

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3. 三人独立地破译一个密码，它们能单独译出的概率分别是 $\frac{1}{5},\frac{1}{3},\frac{1}{4}$，密码被译出的概率是（ ）

   A. $\frac{47}{60}$ B. $\frac{23}{30}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{7}{12}$

   解：

   C

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4. 设两个相互独立的随机变量 $X$ 与 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$，则（ ）

   A. $P\{X+Y\le 0\}=\frac{1}{2}$ B. $P\{X+Y\le 1\}=\frac{1}{2}$ C. $P\{X-Y\le 0\}=\frac{1}{2}$ D. $P\{X-Y\le 1\}=\frac{1}{2}$

   解：

   B

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5. 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$，则 $P\{X=a\}$ 的值为（ ）

   A. $F(a-0)$ B. $F(a)-F(0)$ C. $F(a)$ D. $F(a)-F(a-0)$

   解：

   D

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6. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为

   $X\backslash Y$	$0$	$1$	$2$
   $-1$	$0.1$	$0.1$	$b$
   $1$	$a$	$0.1$	$0.1$

   若事件 $\{\max\{X,Y\}=2\}$ 与事件 $\{\min\{X,Y\}=1\}$ 相互独立，则它们的协方差 $\operatorname{Cov}(X,Y)=$（ ）

   A. $-0.6$ B. $-0.36$ C. $0$ D. $0.48$

   解：

   B

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7. 考虑一元二次方程 $x^2+Bx+C=0$，下列哪一个情形下，该方程有重根的概率为 $\frac{1}{18}$：（ ）

   A. $B=C$ 是一颗骰子抛掷一次后出现的点数 B. $B$ 是抛掷一枚硬币一次出现的正面次数，$C$ 是一颗骰子投掷一次出现的点数 C. $B$ 是一颗骰子投掷一次出现的点数，$C$ 是抛掷一枚硬币一次出现的反面次数 D. $B,C$ 分别是将一颗骰子连续抛掷两次先后出现的点数

   解：

   D

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8. 若函数 $y=f(x)$ 是一随机变量 $X$ 的概率密度函数，则下面一定成立的是（ ）

   A. $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$ B. $f(x)$ 的值域为 $[0,1]$ C. $f(x)$ 非负 D. $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续

   解：

   C

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9. 设 $X$ 与 $Y$ 是定义在同一样本空间上的两个随机变量，且 $P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{3}{7}$，$P\{X>0\}=P\{Y>0\}=\frac{4}{7}$，则 $P\{(X>0)\cup(Y>0)\}=$（ ）

   A. $\frac{16}{49}$ B. $\frac{5}{7}$ C. $\frac{3}{7}$ D. $\frac{40}{49}$

   解：

   B

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10. 设随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布，且 $X_1$ 的概率密度为

    $$f(x)= \begin{cases} 1-|x|, & |x|<1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

    则当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于（ ）

    A. $\frac{1}{8}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$

    解：

    B

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二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）

11. 已知 $P(\overline{A})=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(\overline{A}B)=0.5$，则 $P(B\mid A\cup\overline{B})=$______。

    解：

    $0.25$

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12. 已知男性中有 $5\%$ 是色盲患者，女性中有 $0.25\%$ 是色盲患者，今从男女比例为 $22:21$ 的人群中随机挑选一人，发现恰好是色盲患者，则此人是男性的概率是______。

    解：

    $\frac{440}{461}$ 或 $0.9544$

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13. 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\theta$ 的指数分布，且 $X$ 落入区间 $(1,2)$ 内的概率达到最大，则 $\theta=$______。

    解：

    $\frac{1}{\ln 2}$

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14. 若随机变量 $\xi$ 在 $(1,6)$ 上服从均匀分布，则方程 $x^2+\xi x+1=0$ 有实根的概率是______。

    解：

    $\frac{4}{5}$

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15. 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球。令 $X,Y$ 分别表示从甲盒和乙盒中各取到的红球个数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为______。

    解：

    $\frac{1}{5}$

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三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）

附表：

$x$	$0.10$	$0.20$	$0.40$	$0.78$	$0.94$	$1.00$	$1.11$
$\Phi(x)$	$0.540$	$0.579$	$0.655$	$0.782$	$0.827$	$0.841$	$0.867$
$x$	$1.20$	$1.40$	$1.50$	$1.60$	$2.00$	$2.50$	$2.60$
$\Phi(x)$	$0.855$	$0.919$	$0.933$	$0.945$	$0.977$	$0.994$	$0.995$

16. 甲乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷。每当某人掷出 1 点时，交给对方掷，否则此人继续掷。求第 $n$ 次依然由甲方掷骰子的概率。

    解：

    设 $A_i$ 表示第 $i$ 次由甲方掷骰子，$p_i=P(A_i)$。则 $p_1=1$，且

    $$P(A_i\mid A_{i-1})=\frac{5}{6},\qquad P(A_i\mid \overline{A_{i-1}})=\frac{1}{6}.$$

    因此

    $$p_i=\frac{5}{6}p_{i-1}+\frac{1}{6}(1-p_{i-1}) =\frac{2}{3}p_{i-1}+\frac{1}{6}.$$

    所以

    $$p_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}p_1+\frac{1}{6}\left(1+\frac{2}{3}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n-2}\right) =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}.$$

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17. 已知连续型随机变量 $X$ 的概率密度为

    $$f(x)= \begin{cases} Ax^3, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

    求：

    （1）常数 $A$；

    （2）分布函数 $F(x)$；

    （3）$P\{0.5<X<2\}$。

    解：

    （1）由 $\int_0^1 Ax^3\,dx=1$，得 $A=4$。

    （2）

    $$F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ x^4, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases}$$

    （3）

    $$P\{0.5<X<2\}=F(2)-F(0.5)=\frac{15}{16}.$$

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18. 设随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度函数为

    $$f(x,y)= \begin{cases} 1, & |y|<x,\ 0<x<1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}$$

    试求：

    （1）$f_X(x)$；

    （2）$f_{Y\mid X}(y\mid x)$；

    （3）$P\{X>\frac{1}{2}\mid Y>0\}$。

    解：

    （1）

    $$f_X(x)=\int_{-x}^{x}1\,dy=2x,\qquad 0<x<1.$$

    其他情形下 $f_X(x)=0$。

    （2）

    $$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{1}{2x}, \qquad |y|<x,\ 0<x<1.$$

    （3）

    $$P\left\{X>\frac{1}{2}\mid Y>0\right\} =\frac{\int_{\frac{1}{2}}^1\int_0^x 1\,dy\,dx}{\int_0^1\int_0^x 1\,dy\,dx} =\frac{\int_{\frac{1}{2}}^1 x\,dx}{\int_0^1 x\,dx} =\frac{3}{4}.$$

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19. 进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为 $p$，失败概率 $q=1-p$，$0<p<1$。将试验进行到出现 $r$ 次成功为止，以 $Y$ 表示所需试验次数。

    （1）求 $Y$ 的分布律；

    （2）计算 $E(Y)$；

    （3）计算 $D(Y)$。

    解：

    （1）

    $$P\{Y=k\}=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\qquad k=r,r+1,\cdots.$$

    （2）

    $$E(Y)=\sum_{k=r}^{\infty}kP\{Y=k\} =\sum_{k=r}^{\infty}k\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$$$$=\sum_{k=r}^{\infty} k\frac{(k-1)!}{(r-1)!(k-r)!}p^r(1-p)^{k-r}$$$$=\frac{r}{p}\sum_{k=r}^{\infty} \frac{k!}{r!(k-r)!}p^{r+1}(1-p)^{k-r}$$$$=\frac{r}{p}\sum_{k=r}^{\infty} \binom{k+1-1}{r+1-1}p^{r+1}(1-p)^{(k+1)-(r+1)} =\frac{r}{p}.$$

    （3）

    $$E(Y^2)=\sum_{k=r}^{\infty}k^2P\{Y=k\} =\sum_{k=r}^{\infty}k^2\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$$$$=\sum_{k=r}^{\infty}k^2\frac{(k-1)!}{(r-1)!(k-r)!}p^r(1-p)^{k-r}$$$$=\sum_{k=r}^{\infty}(k+1-1)\frac{k!}{(r-1)!(k-r)!}p^r(1-p)^{k-r}$$$$=\frac{r(r+1)}{p^2} \sum_{k=r}^{\infty}\frac{(k+1)!}{(r+1)!(k-r)!}p^{r+2}(1-p)^{k-r} -\frac{r}{p}$$$$=\frac{r(r+1)}{p^2} \sum_{k=r}^{\infty}\binom{k+2-1}{r+2-1}p^{r+2}(1-p)^{(k+2)-(r+2)} -\frac{r}{p}$$$$=\frac{r^2+r(1-p)}{p^2}.$$

    因此

    $$D(Y)=E(Y^2)-(E(Y))^2 =\frac{r^2+r(1-p)}{p^2}-\left(\frac{r}{p}\right)^2 =\frac{r(1-p)}{p^2}.$$

    ---

20. 设 $X$ 的密度函数为

    $$f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|},\qquad -\infty<x<+\infty.$$

    求：

    （1）$E(X)$；

    （2）$D(X)$；

    （3）$\operatorname{cov}(X,|X|)$；

    （4）$E(\sqrt{|X|})$。

    解：

    （1）

    $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx =\int_{-\infty}^0x\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_0^{+\infty}x\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=0.$$

    （2）

    $$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx =\int_{-\infty}^0x^2\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_0^{+\infty}x^2\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=2.$$$$D(X)=E(X^2)-E^2(X)=2.$$

    （3）

    $$\operatorname{Cov}(X,|X|) =E(X|X|)-E(X)E(|X|) =\int_{-\infty}^{+\infty}x|x|f(x)\,dx-0=0.$$

    这里 $x|x|f(x)$ 是奇函数。

    （4）

    $$E(\sqrt{|X|}) =\int_{-\infty}^{+\infty}\sqrt{|x|}\frac{1}{2}e^{-|x|}\,dx =\int_0^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}\,dx.$$

    令 $\sqrt{x}=\frac{t}{\sqrt{2}}$，有 $dx=t\,dt$，则

    $$E(\sqrt{|X|}) =\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}t^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt =\frac{\sqrt{\pi}}{2}.$$

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21. 学校某食堂出售盒饭，共有三种价格：4 元、5 元和 6 元。出售哪种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分别为 $0.3,0.5,0.2$，已知某天售出 400 盒。

    求：

    （1）这天售出盒饭的收入不少于 1925 元的概率；

    （2）这天售出 6 元盒饭不多于 100 盒的概率。

    解：

    （1）设 $X_i$ 表示第 $i$ 盒盒饭的价格，$X=\sum_{i=1}^{400}X_i$。则

    $$E(X_i)=4\times 0.3+5\times 0.5+6\times 0.2=4.9,$$$$D(X_i)=4^2\times 0.3+5^2\times 0.5+6^2\times 0.2-4.9^2=0.49.$$

    所以 $E(X)=1960$，$D(X)=196$。由中心极限定理，

    $$P(1925\le X) =P\left\{\frac{1925-1960}{\sqrt{196}}\le \frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}\right\} \approx 2\Phi\left(\frac{35}{\sqrt{196}}\right)-1 =2\Phi(2.5)-1 =2\times 0.994-1 =0.988.$$

    （2）设 $Y$ 表示售出 6 元盒饭的数量，则 $Y\sim B(400,0.2)$，$E(Y)=80$，$D(Y)=64$。由中心极限定理，

    $$P\{Y\le 100\} =P\left\{\frac{Y-80}{8}\le \frac{100-80}{8}\right\} \approx \Phi(2.5)=0.994.$$