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2017-2018学年上学期期中

2017-2018学年上学期期中试卷（A）​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 设 P(B∣A)=1P(B\mid A)=1，则下列命题成立的是（ ）

    A. A⊂BA\subset B B. B⊂AB\subset A C. A−B=∅A-B=\varnothing D. P(A−B)=0P(A-B)=0

  2. 设随机事件 AA 与 BB 相互独立，且 P(B)=0.5P(B)=0.5，且 P(A−B)=0.3P(A-B)=0.3，则 P(B−A)=P(B-A)=（ ）

    A. 0.10.1 B. 0.20.2 C. 0.30.3 D. 0.40.4

  3. 一个篮球运动员的投篮命中率为 0.450.45，以 XX 表示他首次投中时累计已投篮的次数，则 P(X=3)=P(X=3)=（ ）

    A. 0.4530.45^3 B. 0.452×0.550.45^2\times 0.55 C. 0.552×0.450.55^2\times 0.45 D. C320.552×0.45C_3^2 0.55^2\times 0.45

  4. 设 f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x 是某个连续型随机变量 XX 的概率密度函数，则 XX 的取值范围是（ ）

    A. [0,π2]\left[0,\frac{\pi}{2}\right] B. [0,π][0,\pi] C. [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] D. [π,3π2]\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]

  5. 设 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，Y=ax−bY=ax-b，其中 a,ba,b 为常数，且 a≠0a\ne 0，则 Y∼Y\sim（ ）

    A. N(aμ−b,a2σ2+b2)N(a\mu-b,a^2\sigma^2+b^2) B. N(aμ+b,a2σ2−b2)N(a\mu+b,a^2\sigma^2-b^2) C. N(aμ+b,a2σ2)N(a\mu+b,a^2\sigma^2) D. N(aμ−b,a2σ2)N(a\mu-b,a^2\sigma^2)

  6. 设相互独立的两个随机变量 XX 与 YY 具有同一分布律，且 X∼B(1,12)X\sim B(1,\frac{1}{2})，则随机变量 Z=max⁡(X,Y)Z=\max(X,Y) 的分布律为（ ）。

    A. P{Z=0}=12,P{Z=1}=12P\{Z=0\}=\frac{1}{2},P\{Z=1\}=\frac{1}{2} B. P{Z=0}=1,P{Z=1}=0P\{Z=0\}=1,P\{Z=1\}=0 C. P{Z=0}=14,P{Z=1}=34P\{Z=0\}=\frac{1}{4},P\{Z=1\}=\frac{3}{4} D. P{Z=0}=34,P{Z=1}=14P\{Z=0\}=\frac{3}{4},P\{Z=1\}=\frac{1}{4}

  7. 设随机变量 X,YX,Y 不相关，且 E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3E(X)=2,E(Y)=1,D(X)=3，则 E(X(X+Y−2))=E(X(X+Y-2))=（ ）

    A. −3-3 B. 33 C. −5-5 D. 55

  8. 已知随机变量 X+Y=8X+Y=8，若 X∼B(10,0.6)X\sim B(10,0.6)，则 E(Y),D(Y)E(Y),D(Y) 分别为（ ）

    A. 66 和 2.42.4 B. 22 和 2.42.4 C. 22 和 5.65.6 D. 66 和 5.65.6

  9. 设随机变量 X∼N(1,2),Y∼N(2,4)X\sim N(1,2),Y\sim N(2,4)，且 XX 与 YY 相互独立，则（ ）

    A. 2X−Y∼N(0,1)2X-Y\sim N(0,1) B. 2X−Y23∼N(0,1)\frac{2X-Y}{2\sqrt{3}}\sim N(0,1) C. 2X−Y+1∼N(1,9)2X-Y+1\sim N(1,9) D. 2X−Y+123∼N(0,1)\frac{2X-Y+1}{2\sqrt{3}}\sim N(0,1)

  10. 设连续性随机变量 X1X_1 与 X2X_2 相互独立，且方差均存在，X1X_1 与 X2X_2 的概率密度分别为 f1(x)f_1(x) 与 f2(x)f_2(x)，随机变量 Y1Y_1 的概率密度为

    f3(y)=12[f1(y)+f2(y)]f_3(y)=\frac{1}{2}[f_1(y)+f_2(y)]

    又随机变量 Y2=12(X1+X2)Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)，则下列说法正确的是（ ）

    A. E(Y1)>E(Y2),D(Y1)>D(Y2)E(Y_1)>E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2) B. E(Y1)=E(Y2),D(Y1)=D(Y2)E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)=D(Y_2) C. E(Y1)=E(Y2),D(Y1)>D(Y2)E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)>D(Y_2) D. E(Y1)=E(Y2),D(Y1)<D(Y2)E(Y_1)=E(Y_2),D(Y_1)<D(Y_2)

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. 已知随机事件 AA 与 BB，P(A∪B)=12P(A\cup B)=\frac{1}{2}，P(ABˉ)=13P(A\bar B)=\frac{1}{3}，则 P(B∣A∪B)=P(B\mid A\cup B)=______。

  2. 设随机变量 XX 在 (1,6)(1,6) 上服从均匀分布，则方程 t2+Xt+1=0t^2+Xt+1=0 有实根的概率为______。

  3. 设随机试验 EE 有三种两两不相容的结果 A1,A2,A3A_1,A_2,A_3，且三种结果发生的概率均为 13\frac{1}{3}，将试验 EE 独立重复做 22 次，XX 表示 22 次试验中结果 A1A_1 发生的次数，YY 表示 22 次试验中结果 A2A_2 发生的次数，则 XX 与 YY 的相关系数为______。

  4. 设随机变量 X1,⋯ ,X6X_1,\cdots,X_6 独立同分布，其概率密度为

    f(x)={2x,0<x<1,0,其它,f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases}

    则 P{max⁡(X1,⋯ ,X6)>14}=P\left\{\max(X_1,\cdots,X_6)>\frac{1}{4}\right\}=______。

  5. 设 X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n 为相互独立的随机变量序列，且 Xi(i=1,2,⋯ )X_i(i=1,2,\cdots) 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布，则

    lim⁡n→∞P{∑i=1nXi−nλnλ≥0}=\lim_{n\to\infty}P\left\{\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\lambda}{\sqrt{n\lambda}}\ge 0\right\}=

    ______。

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

附表：（其中 Φ(x)\Phi(x) 是标准正态分布函数）

xx0.100.100.200.200.400.400.600.600.800.801.001.001.201.201.401.401.61.62.02.0
Φ(x)\Phi(x)0.5300.5300.5790.5790.6550.6550.7260.7260.7880.7880.8410.8410.8850.8850.9190.9190.9450.9450.9770.977

  1. 设概率论期中成绩（百分制）近似服从正态分布 X∼N(72,σ2)X\sim N(72,\sigma^2)，9696 分以上的占考生总数的 2.3%2.3\%，试求考生的概率论成绩在 6060 分至 8484 分之间的概率。

  2. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立，XX 服从区间 [0,1][0,1] 上的均匀分布，YY 服从参数 λ=1\lambda=1 的指数分布。又设随机变量 Z=X+YZ=X+Y，试求随机变量 ZZ 的概率密度函数 fZ(z)f_Z(z)。

  3. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的联合密度函数为

    f(x,y)={Ax(x−y),0≤x≤2, 0≤y≤x,0,others.f(x,y)= \begin{cases} Ax(x-y), & 0\le x\le 2,\ 0\le y\le x,\\ 0, & \text{others}. \end{cases}

    （a）确定常数 AA；（3 分）

    （b）求 XX 的边缘概率密度函数 fX(x)f_X(x)；（4 分）

    （c）当 0<x≤20<x\le 2，计算 fY∣X(y∣x)f_{Y\mid X}(y\mid x)。（3 分）

  4. 设离散型随机变量 XX 和 YY 的联合分布律如下：

    X\YX\backslash Y001122
    0014\frac{1}{4}0014\frac{1}{4}
    110013\frac{1}{3}00
    22112\frac{1}{12}00112\frac{1}{12}

    求：

    （1）P{X=2Y}P\{X=2Y\}（3 分）

    （2）Cov⁡(X−Y,Y)\operatorname{Cov}(X-Y,Y)（4 分）

    （3）变量 X+YX+Y 与变量 X−YX-Y 的相关系数 ρ\rho。（3 分）

  5. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 服从 N(1,1,2,2,0)N(1,1,2,2,0)，计算：

    （1）E(XY2)E(XY^2)；（3 分）

    （2）D(∣X−Y∣)D(|X-Y|)；（4 分）

    （3）E((X−Y)e2(X−Y))E\left((X-Y)e^{2(X-Y)}\right)。（3 分）

  6. 保险公司新增一个保险品种：每位被保险人年交纳保费为 200200 元，每位被保险人出事赔付金额为 1010 万元。根据统计，这类被保险人年出事概率为 0.00040.0004。这个新保险品种预计需投入 2828 万的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下，一年内至少需要多少人参保，才能使保险公司在该年度获利超过 100100 万元的概率大于 94.5%94.5\%？

    （提示：9996≈100\sqrt{9996}\approx 100）