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2018-2019学年上学期期末

2018-2019学年上学期期末试卷（A）​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 有 10 个包裹，其中只有 2 个有东西，小明先拿走一个，再由小红拿一个，那么小红拿到有物的包裹的概率为（ ）

    A. 15\frac{1}{5} B. 318\frac{3}{18} C. 16\frac{1}{6} D. 322\frac{3}{22}

  2. 对于任意两个事件 A,BA,B，以下成立的是（ ）

    A. 若 AB=∅AB=\varnothing，则 A,BA,B 一定独立 B. 若 AB=∅AB=\varnothing，则 A,BA,B 一定不独立 C. 若 AB≠∅AB\ne\varnothing，则 A,BA,B 一定独立 D. 若 AB≠∅AB\ne\varnothing，则 A,BA,B 可能独立

  3. 设随机变量 XX 的分布律为 P{X=k}=bλk, k=1,2,…,n,…P\{X=k\}=b\lambda^k,\ k=1,2,\ldots,n,\ldots，则（ ）

    A. 0<λ<10<\lambda<1 且 b=1−λ−1b=1-\lambda^{-1} B. 0<λ<10<\lambda<1 且 b=λ−1b=\lambda^{-1} C. 0<λ<10<\lambda<1 且 b=1+λ−1b=1+\lambda^{-1} D. 0<λ<10<\lambda<1 且 b=λ−1−1b=\lambda^{-1}-1

  4. 设随机变量 (X,Y)∼N(μ1,μ2,16,25,0)(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,16,25,0)，则下面描述不正确的是（ ）

    A. X,YX,Y 独立 B. 对任何实数 α1,α2\alpha_1,\alpha_2，α1X+α2Y\alpha_1X+\alpha_2Y 一定服从正态分布 C. X,YX,Y 不相关 D. 对任何实数 α1,α2\alpha_1,\alpha_2，α1X+α2Y\alpha_1X+\alpha_2Y 不一定服从正态分布

  5. 设两个随机变量 XX 与 YY 独立同分布，P{X=−1}=0.5P\{X=-1\}=0.5，P{X=1}=0.5P\{X=1\}=0.5，则下列各式成立的是（ ）

    A. P{X=Y}=12P\{X=Y\}=\frac{1}{2} B. P{X=Y}=1P\{X=Y\}=1 C. P{X+Y=0}=14P\{X+Y=0\}=\frac{1}{4} D. P{XY=1}=14P\{XY=1\}=\frac{1}{4}

  6. 设随机试验 EE 有三种两两不相容的结果 A,B,CA,B,C，且三种结果发生的概率均为 13\frac{1}{3}。将试验 EE 独立重复做两次，XX 表示两次试验中结果 AA 发生的次数，YY 表示两次试验中 BB 发生的次数，则 XX 与 YY 的相关系数为（ ）

    A. 13\frac{1}{3} B. −12-\frac{1}{2} C. 12\frac{1}{2} D. −13-\frac{1}{3}

  7. 设 XX 是离散型随机变量，P{X=a}=23P\{X=a\}=\frac{2}{3}，P{X=b}=13P\{X=b\}=\frac{1}{3}，且 a<ba<b。又已知 E(X)=43E(X)=\frac{4}{3}，D(X)=29D(X)=\frac{2}{9}，则 a+ba+b 的值为（ ）

    A. 53\frac{5}{3} B. 73\frac{7}{3} C. 33 D. 113\frac{11}{3}

  8. 设总体 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，X1,X2,…,Xn(n≥2)X_1,X_2,\ldots,X_n(n\ge 2) 是来自总体 XX 的随机样本，X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i 和

    S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2

    分别是样本均值和样本方差，则下列各式正确的是（ ）

    A. Xi−μS/n∼t(n)\frac{X_i-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n) B. X‾∼N(μ,σ2)\overline{X}\sim N(\mu,\sigma^2) C. ∑i=1n(Xi−μσ)2∼χ2(n)\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\sim \chi^2(n) D. (n−1)S2σ2∼χ2(n)\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n)

  9. 某纤维的强力服从 N(μ,1.192)N(\mu,1.19^2)。原设计的平均强力为 6 克。现改进工艺后，测得 100 个强力数据的均值为 6.35，假定标准差不变。如果要检验均值的提高是否工艺改进的结果，则合理的零假设与备择假设应为（ ）

    A. H0:μ>6, H1:μ<6H_0:\mu>6,\ H_1:\mu<6 B. H0:μ<6, H1:μ>6H_0:\mu<6,\ H_1:\mu>6 C. H0:μ≤6, H1:μ>6H_0:\mu\le 6,\ H_1:\mu>6 D. H0:μ=6, H1:μ≠6H_0:\mu=6,\ H_1:\mu\ne 6

  10. PP 值可显示检验统计量值在一定范围内出现的概率，对于单侧检验，将 PP 值与给定的显著性水平 α\alpha 相比（ ）

    A. 当 PP 值 ≥α\ge \alpha 时，拒绝原假设 B. 当 PP 值 ≥α\ge \alpha 时，接受原假设 C. 当 PP 值 <1−α<1-\alpha 时，拒绝原假设 D. 当 PP 值 <1−α<1-\alpha 时，接受原假设

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. P(A)=P(B)=P(C)=14P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}，P(AB)=P(BC)=0P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=18P(AC)=\frac{1}{8}，则 A,B,CA,B,C 至少出现一个的概率为______。

  2. 若总体 X∼N(0,2)X\sim N(0,2)，X1,X2,X3,X4X_1,X_2,X_3,X_4 是来自 XX 的样本，S2=13∑i=14(Xi−X‾)2S^2=\frac{1}{3}\sum_{i=1}^4(X_i-\overline{X})^2 是样本方差，则 E(S4)=E(S^4)=______。

  3. 设 X,YX,Y 为随机变量，且 D(X+Y)=7D(X+Y)=7，D(X)=4D(X)=4，D(Y)=1D(Y)=1，则 Cov⁡(X,Y)=\operatorname{Cov}(X,Y)=______。

  4. 从 17 级学生中随机抽取 100 人，测试其概率论期中平均成绩为 72 分。设学生成绩服从正态分布，均方差为 40，以置信水平 0.975 求出这批学生成绩均值 μ\mu 的单侧置信下限为______。

  5. 设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的指数分布，且 XX 落入区间 (1,2)(1,2) 内的概率达到最大，则 λ=\lambda=______。

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

附表：（其中 Φ(X)\Phi(X) 是标准正态分布函数）

XX0.100.200.540.781.001.111.201.401.62.0
Φ(X)\Phi(X)0.5300.5790.7050.7830.8400.8670.8850.9190.9450.977
t0.05(15)=1.753,t0.05(16)=1.746,t0.025(15)=2.131,t0.025(16)=2.12t_{0.05}(15)=1.753,\quad t_{0.05}(16)=1.746,\quad t_{0.025}(15)=2.131,\quad t_{0.025}(16)=2.12 χ0.052(15)=25,χ0.952(15)=7.26,χ0.0252(15)=27.49,χ0.9752(15)=6.27\chi^2_{0.05}(15)=25,\quad \chi^2_{0.95}(15)=7.26,\quad \chi^2_{0.025}(15)=27.49,\quad \chi^2_{0.975}(15)=6.27

  1. 某单位招聘 155 人，按考试成绩录用，共有 526 人报名。假设报名者的成绩 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，已知 90 分以上有 12 人，60 分以下有 84 人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为 78 分，问此人是否在被录取之列？

  2. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的密度函数为

    f(x,y)={kxye−(x2+y2),x>0, y>0,0,其他.f(x,y)= \begin{cases} kxy e^{-(x^2+y^2)}, & x>0,\ y>0,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

    求：

    (1) 常数 kk 的值；

    (2) X>1X>1 的条件下，Y>1Y>1 的概率 P{Y>1∣X>1}P\{Y>1\mid X>1\}；

    (3) P{max⁡(X,Y)>1}P\{\max(X,Y)>1\}。

  3. 设 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 是总体为 N(0,2)N(0,2) 的简单随机样本，记 X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i，

    S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2,T=X‾2−1nS2.S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2,\quad T=\overline{X}^2-\frac{1}{n}S^2.

    (1) 证明 TT 是 μ2\mu^2 的无偏估计量；（3 分）

    (2) 计算 D(T)D(T)。（4 分）

    (3) 计算 E(X1eX1)E(X_1e^{X_1})。（3 分）

  4. 经过分析，在接下来 600 个时间段内，股票价格每个时间段独立地以 0.3 概率下降 1 元，0.2 的概率上升 0.5 元，0.5 的概率上升 1 元。求 600 个时间段后，股票价格比开始时上升 150 元的概率。

    （参考：456=21.3542, 4088=63.9375, Φ(0.4692)=0.6808, Φ(1.4049)=0.9192\sqrt{456}=21.3542,\ \sqrt{4088}=63.9375,\ \Phi(0.4692)=0.6808,\ \Phi(1.4049)=0.9192）

  5. 设 ξ1,ξ2,…,ξn\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n 是取自总体 XX 的一个样本，XX 的密度函数为

    f(x;θ1,θ2)={1θ2e−x−θ1θ2,x>θ1,0,其他,f(x;\theta_1,\theta_2)= \begin{cases} \frac{1}{\theta_2}e^{-\frac{x-\theta_1}{\theta_2}}, & x>\theta_1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

    其中 −∞<θ1<∞, 0<θ2<∞-\infty<\theta_1<\infty,\ 0<\theta_2<\infty。试求参数 θ1\theta_1 和 θ2\theta_2 的极大似然估计，并说明 θ1\theta_1 的估计量是否是无偏估计量。

  6. 企业用一种机器生产某产品，规定标准重量为 250 克，标准差不超过 3 克时，则认为机器工作为正常。现抽取 16 件产品，测得平均重量 X‾=252\overline{X}=252 克，样本标准差 S=4S=4 克。假定产品重量服从正态分布，试问目前该机器工作是否正常？