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2017-2018学年上学期期末

2017-2018学年上学期期末试卷（A）​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 甲乙丙三人各自独立地向某一目标射击一次，三人的命中率分别为 0.3，0.5 和 0.8，则至多有两人击中目标的概率为（ ）

    A. 0.15 B. 0.24 C. 0.88 D. 0.79

  2. 设 A,BA,B 为随机事件，且 P(B∣A)=1P(B\mid A)=1，则必有（ ）

    A. P(A‾∣B‾)=0P(\overline{A}\mid \overline{B})=0 B. A⊆BA\subseteq B C. B⊆AB\subseteq A D. P(B‾∣A)=0P(\overline{B}\mid A)=0

  3. 已知随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布且

    P{X=1}+13P{X=2}=P{X=3},P\{X=1\}+\frac{1}{3}P\{X=2\}=P\{X=3\},

    则 P{X=1}P\{X=1\} 与 P{X=2}P\{X=2\} 的比值为（ ）

    A. 23\frac{2}{3} B. 12\frac{1}{2} C. 13\frac{1}{3} D. 14\frac{1}{4}

  4. 设随机变量 XX 与 YY 相互独立，其概率分布为

    XX-11
    P{X=k}P\{X=k\}12\frac{1}{2}12\frac{1}{2}
    YY-11
    P{Y=k}P\{Y=k\}12\frac{1}{2}12\frac{1}{2}

    则下列式子正确的是（ ）

    A. X=YX=Y B. P{X=Y}=0P\{X=Y\}=0 C. P{X=Y}=12P\{X=Y\}=\frac{1}{2} D. P{X=Y}=1P\{X=Y\}=1

  5. 设随机变量 XX 服从指数分布，则随机变量 Y=min⁡{X,2}Y=\min\{X,2\} 的分布函数（ ）

    A. 是连续函数 B. 至少有两个间断点 C. 是阶梯函数 D. 恰有一个间断点

  6. 设随机变量 X∼t(n)X\sim t(n)，Y∼F(1,n)Y\sim F(1,n)，给定 α(0<α<0.5)\alpha(0<\alpha<0.5)，常数 cc 满足 P{X>c}=αP\{X>c\}=\alpha，则 P{Y>c2}=P\{Y>c^2\}=（ ）

    A. α\alpha B. 1−α1-\alpha C. 2α2\alpha D. 1−2α1-2\alpha

  7. 设随机变量 XX 的概率密度函数为

    f(x)=12πe−(x+2)24,−∞<x<+∞,f(x)=\frac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(x+2)^2}{4}},\quad -\infty<x<+\infty,

    且随机变量 Y=aX+b∼N(0,1)Y=aX+b\sim N(0,1)，则下列各组数中应取（ ）

    A. a=1, b=2a=1,\ b=2 B. a=22, b=2a=\frac{\sqrt{2}}{2},\ b=\sqrt{2} C. a=1, b=2a=1,\ b=\sqrt{2} D. a=22, b=2a=\frac{\sqrt{2}}{2},\ b=2

  8. 设总体 X∼N(0,σ2)X\sim N(0,\sigma^2)，X1,X2,…,Xn(n≥2)X_1,X_2,\ldots,X_n(n\ge 2) 是来自总体 XX 的随机样本，X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i 和

    S2=1n−1∑i=1n(Xi−X‾)2S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2

    分别是样本均值和样本方差，则下列各式正确的是（ ）

    A. nX‾∼N(0,σ2)n\overline{X}\sim N(0,\sigma^2) B. nS2σ2∼χ2(n)\frac{nS^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n) C. (n−1)X‾S∼t(n−1)\frac{(n-1)\overline{X}}{S}\sim t(n-1) D. (n−1)X12∑i=2nXi2∼F(1,n−1)\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2}\sim F(1,n-1)

  9. 在评价估计量的标准中，如果随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近总体参数，这是指估计量的（ ）。

    A. 准确性 B. 无偏性 C. 有效性 D. 一致性

  10. 某厂宣传其产品的平均使用寿命不低于 1000 小时，进行检验时最好应选（ ）

    A. 作一个双边检验 B. 左边备择假设为 H1:μ<1000H_1:\mu<1000 C. 原假设为 H0:μ≤1000H_0:\mu\le 1000 D. 右边备择假设为 H1:μ>1000H_1:\mu>1000

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. 设事件 AA 发生的概率是 0.5，AA 与 BB 都发生的概率是 0.2，AA 与 BB 都不发生的概率为 0.15，则 BB 发生且 AA 不发生的概率是______。

  2. 设随机变量 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)，其中 σ>0\sigma>0，且二次方程 y2+4y+X=0y^2+4y+X=0 无实根的概率为 12\frac{1}{2}，则 μ=\mu=______。

  3. 设随机变量 (X,Y)∼N(1,−2,4,14,12)(X,Y)\sim N(1,-2,4,\frac{1}{4},\frac{1}{2})，Z=X−2Y−1Z=X-2Y-1，则 Z∼Z\sim______。

  4. 若总体 X∼N(0,2)X\sim N(0,2)，X1,X2,…,X6X_1,X_2,\ldots,X_6 是来自 XX 的样本，令统计量

    Y=(X1+X3+X5)2+(X2+X4+X6)2,Y=(X_1+X_3+X_5)^2+(X_2+X_4+X_6)^2,

    则当 c=c=______ 时，cYcY 服从 χ2\chi^2 分布，自由度为______。

  5. 已知 θ^1\hat{\theta}_1 与 θ^2\hat{\theta}_2 为未知参数 θ\theta 的两个无偏估计量，且 θ^1\hat{\theta}_1 与 θ^2\hat{\theta}_2 不相关，D(θ^1)=4D(θ^2)D(\hat{\theta}_1)=4D(\hat{\theta}_2)。如果 aθ^1+bθ^2a\hat{\theta}_1+b\hat{\theta}_2 也是 θ\theta 的无偏估计，求使 aθ^1+bθ^2a\hat{\theta}_1+b\hat{\theta}_2 组合中方差最小的 a=a=______。

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

附表：

XX0.080.92nn343536nn343536
Φ(X)\Phi(X)0.53190.8212t0.025(n)t_{0.025}(n)2.03222.03012.0281χ0.0252(n)\chi^2_{0.025}(n)51.96653.20354.437

  1. 设离散型随机变量 XX 的分布律为

    XX12⋯\cdotsnn⋯\cdots
    P{X=n}P\{X=n\}12\frac{1}{2}(12)2(\frac{1}{2})^2⋯\cdots(12)n(\frac{1}{2})^n⋯\cdots

    求随机变量 Y=cos⁡(π2X)Y=\cos\left(\frac{\pi}{2}X\right) 的分布律。

  2. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 的密度函数为

    f(x,y)={Axy,0≤x≤y≤1,0,others.f(x,y)= \begin{cases} Axy, & 0\le x\le y\le 1,\\ 0, & \text{others}. \end{cases}

    求：

    (1) 常数 AA 的值；（3 分）

    (2) P{X+Y≥1}P\{X+Y\ge 1\}；（4 分）

    (3) 随机变量 XX 与 YY 的边缘概率密度 fX(x)f_X(x)，fY(y)f_Y(y)，并判断 XX 与 YY 是否独立。（3 分）

  3. 设 Z=13X+12YZ=\frac{1}{3}X+\frac{1}{2}Y，其中 X∼N(1,32)X\sim N(1,3^2)，Y∼N(0,42)Y\sim N(0,4^2)，XX 与 YY 的相关系数 ρXY=−12\rho_{XY}=-\frac{1}{2}；记 F(z)F(z) 是 ZZ 的概率分布函数。令随机变量 TT 的分布函数

    G(t)=15F(t)+45F(t−12).G(t)=\frac{1}{5}F(t)+\frac{4}{5}F\left(\frac{t-1}{2}\right).

    (1) 求期望 E(Z)E(Z)，方差 D(Z)D(Z)。（4 分）

    (2) 求 XX 与 ZZ 的相关系数 ρXZ\rho_{XZ}。（2 分）

    (3) 求期望 E(T)E(T)。（4 分）

  4. 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 λ=0.004\lambda=0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。

  5. 设 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 是来自总体 XX 的一个样本，总体 XX 的概率密度如下：

    f(x,θ)={2e−2(x−θ),x≥θ,0,x<θ,f(x,\theta)= \begin{cases} 2e^{-2(x-\theta)}, & x\ge \theta,\\ 0, & x<\theta, \end{cases}

    其中 θ>0\theta>0 为未知参数。求：

    (1) 未知参数的极大似然估计量；（6 分）

    (2) 详细说明该估计量是否是无偏估计量。（4 分）

  6. 设某次考试的成绩服从正态分布，现从中抽取 36 份试卷，测得平均成绩为 66.5，标准差为 15。问在显著性水平 0.05 下，能否认为：

    (1) 这次考试的平均成绩为 70 分？（5 分）

    (2) 标准差为 16？（5 分）