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2020-2021学年上学期期中

2020-2021学年上学期期中试卷​

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）​

  1. 设有 nn 个独立事件 A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n，其概率分别为 p1,⋯ ,pnp_1,\cdots,p_n。记 p=p1+⋯+pnp=p_1+\cdots+p_n。设 0<pi<1,i=1,⋯ ,n0<p_i<1,i=1,\cdots,n。则以下结论中正确的是：（ ）

    A. “A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n 都不发生”这个事件的概率等于 e−pe^{-p}

    B. “A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n 都不发生”这个事件的概率大于 e−pne^{-pn}

    C. “A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n 中至少发生 kk 个”这个事件的概率大于 pk/k!p^k/k!

    D. “A1,⋯ ,AnA_1,\cdots,A_n 中至少发生 kk 个”这个事件的概率小于 pk/k!p^k/k!

  2. 有一个半径为 1 的圆周 CC。小明和小红两个人分别各自独立地从圆周上随机地选取一个点，将两个点连成一条弦 ll。则“圆心到 ll 的距离不小于 0.50.5”这个事件的概率为：（ ）

    A. 23\frac{2}{3} B. 13\frac{1}{3} C. 12\frac{1}{2} D. 34\frac{3}{4}

  3. 设 AA、BB、CC 都是有意义的事件，则以下说法错误的是：（ ）

    A. 若 P(A)>0P(A)>0，则 P(AB∣A)≥P(AB∣A∪B)P(AB\mid A)\ge P(AB\mid A\cup B)

    B. 若 P(A∣B)=1P(A\mid B)=1，则 P{B‾∣A‾}=1P\{\overline{B}\mid\overline{A}\}=1

    C. 事件 AA 和事件 BB 恰有一个发生的概率为 P(A)+P(B)−2P(AB)P(A)+P(B)-2P(AB)

    D. 若 P(A∣C)≥P(B∣C)P(A\mid C)\ge P(B\mid C)，P(A∣C‾)≥P(B∣C‾)P(A\mid\overline{C})\ge P(B\mid\overline{C})，则 P(A)≤P(B)P(A)\le P(B)

  4. 设随机变量 XX 是离散型的，则（ ）可以成为 XX 的分布律

    A. (10p1−p)\begin{pmatrix}1&0\\ p&1-p\end{pmatrix}，其中 pp 是任意实数

    B. (x1x2x3x4x50.10.30.30.20.2)\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\\ 0.1&0.3&0.3&0.2&0.2\end{pmatrix}

    C. P{X=n}=e−33nn!, n=1,2,⋯P\{X=n\}=\frac{e^{-3}3^n}{n!},\ n=1,2,\cdots

    D. P{X=n}=e−33nn!, n=0,1,2,⋯P\{X=n\}=\frac{e^{-3}3^n}{n!},\ n=0,1,2,\cdots

  5. 已知随机变量 XX 的密度函数

    f(x)={Ae−x,x≥λ,0,x<λ,f(x)= \begin{cases} Ae^{-x}, & x\ge \lambda,\\ 0, & x<\lambda, \end{cases}

    （λ>0\lambda>0，AA 为常数），则概率 P{λ<X<λ+a}(a>0)P\{\lambda<X<\lambda+a\}(a>0) 的值______。

    A. 与 aa 无关，随 λ\lambda 的增大而增大

    B. 与 aa 无关，随 λ\lambda 的增大而减小

    C. 与 λ\lambda 无关，随 aa 的增大而增大

    D. 与 λ\lambda 无关，随 aa 的增大而减小

  6. 设两随机变量 XX 与 YY 相互独立且同分布，P{X=−1}=12P\{X=-1\}=\frac{1}{2}，P{X=1}=12P\{X=1\}=\frac{1}{2}，则下列各式成立的是（ ）

    A. P{X=Y}=12P\{X=Y\}=\frac{1}{2}

    B. P{X=Y}=12P\{X=Y\}=\frac{1}{2}

    C. P{X+Y=0}=14P\{X+Y=0\}=\frac{1}{4}

    D. P{XY=1}=14P\{XY=1\}=\frac{1}{4}

  7. 已知随机变量 X+Y=8X+Y=8，若 X∼B(10,0.6)X\sim B(10,0.6)，则 E(Y)E(Y)，D(Y)D(Y) 分别为（ ）

    A. 66 和 2.42.4 B. 22 和 2.42.4 C. 22 和 5.65.6 D. 66 和 5.65.6

  8. 设连续性随机变量 X1X_1 与 X2X_2 相互独立，且方差均存在，X1X_1 与 X2X_2 的概率密度分别为 f1(x)f_1(x) 与 f2(x)f_2(x)，随机变量 Y1Y_1 的概率密度为 f3(y)=12[f1(x)+f2(x)]f_3(y)=\frac{1}{2}[f_1(x)+f_2(x)]，又随机变量 Y2=12(X1+X2)Y_2=\frac{1}{2}(X_1+X_2)，则下列说法正确的是（ ）

    A. E(Y1)>E(Y2)E(Y_1)>E(Y_2)，D(Y1)>D(Y2)D(Y_1)>D(Y_2)

    B. E(Y1)=E(Y2)E(Y_1)=E(Y_2)，D(Y1)=D(Y2)D(Y_1)=D(Y_2)

    C. E(Y1)=E(Y2)E(Y_1)=E(Y_2)，D(Y1)>D(Y2)D(Y_1)>D(Y_2)

    D. E(Y1)=E(Y2)E(Y_1)=E(Y_2)，D(Y1)<D(Y2)D(Y_1)<D(Y_2)

  9. 设 (X1,Y1),(X2,Y2),⋯ ,(Xn,Yn)(X_1,Y_1),(X_2,Y_2),\cdots,(X_n,Y_n) 相互独立且具有相同分布 N(μ1,σ1;μ2,σ2;ρ)N(\mu_1,\sigma_1;\mu_2,\sigma_2;\rho)，令 θ=μ1−μ2\theta=\mu_1-\mu_2，X‾=1n∑i=1nXi\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i，Y‾=1n∑i=1nYi\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i，θ^=X‾−Y‾\hat{\theta}=\overline{X}-\overline{Y}，则（ ）

    A. E(θ^)=θ, D(θ^)=σ12+σ22nE(\hat{\theta})=\theta,\ D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}

    B. E(θ^)=θ, D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2nE(\hat{\theta})=\theta,\ D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}

    C. E(θ^)≠θ, D(θ^)=σ12+σ22nE(\hat{\theta})\ne\theta,\ D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{n}

    D. E(θ^)≠θ, D(θ^)=σ12+σ22−2ρσ1σ2nE(\hat{\theta})\ne\theta,\ D(\hat{\theta})=\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}{n}

  10. 设 Φ(X)\Phi(X) 为标准正态分布函数，

    Xi={1,事件 A 发生,0,否则,i=1,2,⋯ ,100,X_i= \begin{cases} 1, & \text{事件 }A\text{ 发生},\\ 0, & \text{否则}, \end{cases} \qquad i=1,2,\cdots,100,

    且 P(A)=0.8P(A)=0.8，X1,X2,⋯ ,X100X_1,X_2,\cdots,X_{100} 相互独立。令 Y=∑i=1100XiY=\sum_{i=1}^{100}X_i，则由中心极限定理知 YY 的分布函数 F(y)F(y) 近似于（ ）。

    A. Φ(y)\Phi(y) B. Φ(y−804)\Phi\left(\frac{y-80}{4}\right) C. Φ(16y+80)\Phi(16y+80) D. Φ(4y+80)\Phi(4y+80)

二、填空题（每题 4 分，共 20 分）​

  1. 已知 100 件产品中有 85 件次品，其余全为正品。每次使用这些正品时肯定不会发生故障，而在每次使用次品时，会有 0.20.2 的可能性发生故障。现在从这 100 件产品中随机抽取一件，若使用了 nn 次均未发生故障。则 nn 的最小正整数为______时，才能有 70%70\% 的把握认为所得的产品为正品。

  2. 三年级 2 班共有 nn 名学生，若老师共有 nn 颗糖，并将这 nn 颗糖全部随机分给这 nn 名学生，则至少有一个学生没分到糖的概率为______。

  3. 若随机变量 XX 在 (1,6)(1,6) 上服从均匀分布，则方程 x2+xX+1=0x^2+xX+1=0 有实根的概率是______。

  4. 设 XX 和 YY 为两个随机变量，且 P{X≥0,Y≥0}=37P\{X\ge 0,Y\ge 0\}=\frac{3}{7}，P{X≥0}=P{Y≥0}=47P\{X\ge 0\}=P\{Y\ge 0\}=\frac{4}{7}。于是，P{max⁡(X,Y)≥0}=P\{\max(X,Y)\ge 0\}=，P{min⁡(X,Y)<0}=P\{\min(X,Y)<0\}=。

  5. 甲乙两个盒子中各装有 2 个红球和 2 个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，令 X,YX,Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则 XX 和 YY 的相关系数为______。

三、计算题（每题 10 分，共 60 分）​

  1. 现有一副扑克牌（四种花色各 13 张，不含大小王），若是从中有放回的一张张抽牌。求当抽到第 nn 张时，恰好抽齐全部四种花色的概率。

  2. 设连续型随机变量 XX 的分布函数为

    F(x)={0,x<0,Ax2,0≤x<1,1,x≥1.F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ Ax^2, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases}

    （1）求系数 AA；

    （2）P{0.3<X<0.7}P\{0.3<X<0.7\}；

    （3）随机变量 XX 的概率密度函数；

    （4）四次独立试验中有三次恰好在区间 (0.3,0.7)(0.3,0.7) 内取值的概率。

  3. 设连续型二维随机变量在以 O(0,0)O(0,0)，A(0,4)A(0,4)，B(3,4)B(3,4)，C(6,0)C(6,0) 为顶点的梯形 GG 内服从均匀分布，试求：

    （1）(X,Y)(X,Y) 的联合概率密度；

    （2）XX 与 YY 各自的边缘密度；

    （3）YY 关于 XX 的条件概率密度。

  4. （1）设 (X,Y)(X,Y) 在矩形区域 G={(x,y)∣0≤x≤1,0≤y≤2}G=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 2\} 上服从均匀分布，问 XX 与 YY 是否相互独立？

    （2）设 (X,Y)(X,Y) 在曲线 y=x2,y=xy=x^2,y=x 所围成的区域 GG 上服从均匀分布，问 XX 与 YY 是否相互独立？

  5. 设 ξ\xi 与 η\eta 为两个随机变量，且 P(η=1)=P(η=−1)=0.5P(\eta=1)=P(\eta=-1)=0.5，

    P(ξ≤x∣η=k)=12π∫−∞xe−(s−k)22 ds,(k=±1)P(\xi\le x\mid \eta=k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(s-k)^2}{2}}\,ds,\qquad (k=\pm 1)

    （1）求 ξ\xi 的密度函数（3 分）；

    （2）求 ξ\xi 的数学期望（2 分）；

    （3）求 ξ\xi 的方差（2 分）；

    （4）求 ξ\xi 和 η\eta 的相关系数（3 分）。

  6. 保险公司新增一个保险品种：每位被保险人年交纳保费为 200 元，每位被保险人出事赔付金额为 10 万元。根据统计，这类被保险人年出事概率为 0.00040.0004。这个新保险品种预计需投入 28 万的广告宣传费用。在忽略其他费用的情况下，一年内至少需要多少人参保，才能使保险公司在该年度获利超过 100 万元的概率大于 94.5%94.5\%？（9996≈100\sqrt{9996}\approx 100）

    附表：（其中 Φ(x)\Phi(x) 是标准正态分布函数）

    xx0.100.100.200.200.400.400.600.600.800.801.001.001.201.201.401.401.601.60
    Φ(x)\Phi(x)0.5300.5300.5790.5790.6550.6550.7260.7260.7880.7880.8410.8410.8850.8850.9190.9190.9450.945