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2025-2026学年上学期期中

2025-2026学年上学期期中试卷​

一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）​

  1. 从一副充分打乱的 52 张扑克牌中（无大小王）连续抽取两张，不放回。设事件 AA：“第一张是黑桃”，事件 BB：“第二张是 A（Ace）”。则 P(B∣A)P(B\mid A) 等于（ ）

    A. 113\frac{1}{13} B. 451\frac{4}{51} C. 152\frac{1}{52} D. 351\frac{3}{51}

  2. 已知随机试验结果等可能。把 5 个不同的小球随机放入 3 个不同的盒子，每个球独立等概率地进入任一盒子。事件 AA：盒子 1 恰有 2 个球；事件 BB：盒子 2 恰有 2 个球。则 P(A∩B)P(A\cap B) 等于（ ）

    A. 9035\frac{90}{3^5} B. 6035\frac{60}{3^5} C. 3035\frac{30}{3^5} D. 2035\frac{20}{3^5}

  3. 掷两次骰子，事件 AA：点数之和为 7；事件 BB：两次结果点数相同。则下列说法正确的是（ ）

    A. AA、BB 独立 B. A⊂BA\subset B C. AA 与 BB 互斥 D. AA、BB 均非独立且非互斥

  4. 设事件 A,BA,B 满足 P(A)=0.4P(A)=0.4，P(B)=0.5P(B)=0.5，P(A∪B)=0.7P(A\cup B)=0.7，则 P(A∣B)P(A\mid B) 等于（ ）

    A. 0.20.2 B. 0.40.4 C. 0.60.6 D. 0.80.8

  5. 设二维连续型随机变量 (X,Y)(X,Y) 的联合概率密度函数为：

    f(x,y)={k(x+y),0≤x≤1, 0≤y≤1,0,其他,f(x,y)= \begin{cases} k(x+y), & 0\le x\le 1,\ 0\le y\le 1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

    其中 kk 为常数。则下列关于 XX 和 YY 的结论中，正确的是（ ）

    A. k=1k=1，且 XX 与 YY 相互独立 B. k=1k=1，且 XX 与 YY 不独立 C. k=12k=\frac{1}{2}，且 XX 与 YY 相互独立 D. k=12k=\frac{1}{2}，且 XX 与 YY 不独立

  6. 设 (X,Y)(X,Y) 的联合概率密度函数为：

    f(x,y)={12(x+y)e−(x+y),x>0, y>0,0,其他.f(x,y)= \begin{cases} \frac{1}{2}(x+y)e^{-(x+y)}, & x>0,\ y>0,\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

    求条件概率密度函数 fX∣Y(x∣y)f_{X\mid Y}(x\mid y) 在 y=1y=1 时的表达式。（注：Γ(n)=∫0∞tn−1e−t dt=(n−1)!\Gamma(n)=\int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}\,dt=(n-1)!）（ ）

    A. xe−xxe^{-x} B. 12(x+1)e−x\frac{1}{2}(x+1)e^{-x} C. (x+1)e−x(x+1)e^{-x} D. 12xe−x\frac{1}{2}xe^{-x}

  7. 设随机变量 XX 服从参数为 λ\lambda 的泊松分布，已知 P{X=0}=2P{X=2}P\{X=0\}=2P\{X=2\}，则 P{X=1}P\{X=1\} 等于（ ）

    A. 2e−22e^{-2} B. e−1e^{-1} C. 23e−2/3\frac{2}{3}e^{-2/3} D. 13e−1/3\frac{1}{3}e^{-1/3}

  8. 设连续型随机变量 XX 的概率密度函数为

    f(x)={c(x+1),−1≤x≤0,cx,0<x≤1,0,其他,f(x)= \begin{cases} c(x+1), & -1\le x\le 0,\\ cx, & 0<x\le 1,\\ 0, & \text{其他}, \end{cases}

    其中 cc 为常数，则 P{∣X∣<12}P\{|X|<\frac{1}{2}\} 等于（ ）

    A. 14\frac{1}{4} B. 38\frac{3}{8} C. 12\frac{1}{2} D. 34\frac{3}{4}

  9. 设 X1,X2,…,X100X_1,X_2,\ldots,X_{100} 是相互独立的随机变量，且 E(Xi)=μE(X_i)=\mu，D(Xi)=σ2D(X_i)=\sigma^2（i=1,2,…,100i=1,2,\ldots,100），则根据中心极限定理，当 nn 充分大时，1100∑i=1100Xi\frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100}X_i 近似服从的分布是（ ）

    A. N(μ,σ2100)N(\mu,\frac{\sigma^2}{100}) B. N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2) C. N(0,σ2100)N(0,\frac{\sigma^2}{100}) D. N(μ,100σ2)N(\mu,100\sigma^2)

  10. 设随机变量 XX 服从正态分布 N(−1,1)N(-1,1)，YY 服从正态分布 N(1,2)N(1,2)，若 XX 与 X+2YX+2Y 不相关，则 XX 与 X−YX-Y 的相关系数为（ ）

    A. 12\frac{1}{2} B. 13\frac{1}{3} C. 23\frac{2}{3} D. 34\frac{3}{4}

二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）​

  1. 执行一次随机试验，其样本空间为 Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}，且等可能。事件 A={2,4,6}A=\{2,4,6\}，事件 B={1,2,3}B=\{1,2,3\}。则 P(A∪B)=P(A\cup B)=______。

  2. 某人参加一个游戏：抛掷同一枚硬币 nn 次，出现正面的次数记为 XX。若该硬币轻微偏向导致

    P(正面)=p,P(反面)=1−p.P(\text{正面})=p,\quad P(\text{反面})=1-p.

    试问：事件“前两次都是正面”的概率为______。

  3. 设 XX 和 YY 是相互独立的随机变量，XX 服从参数为 λ=1\lambda=1 的指数分布，YY 服从参数为 λ=2\lambda=2 的指数分布。Z=min⁡(X,Y)Z=\min(X,Y) 的概率分布函数在 z=1z=1 处的值为______。

  4. 设随机变量 XX 服从标准正态分布 N(0,1)N(0,1)，Y=X2Y=X^2，则 YY 的概率密度函数为：

    fY(y)={‾,‾,0,其他.f_Y(y)= \begin{cases} \underline{\qquad}, & \underline{\qquad},\\ 0, & \text{其他}. \end{cases}

  5. 设 XX 服从参数为 1 的泊松分布，则 E(∣X−E(X)∣)=\mathbb{E}(|X-\mathbb{E}(X)|)=______。

三、计算题（每小题 10 分，共 60 分）​

  1. 某系统由四个独立模块 M1,M2,M3,M4M_1,M_2,M_3,M_4 构成，系统成功运行的条件为：

    • M1M_1 和 M2M_2 至少有一个成功；
    • M3M_3 和 M4M_4 必须同时成功。

    各模块独立成功的概率如下：

    P(M1)=0.9,P(M2)=0.8,P(M3)=0.95,P(M4)=0.9.P(M_1)=0.9,\quad P(M_2)=0.8,\quad P(M_3)=0.95,\quad P(M_4)=0.9.

    (a) 求系统成功的概率。

    (b) 已知系统成功，求 M1M_1 失败的条件概率。

  2. 设随机变量 XX 的概率密度函数为

    fX(x)={e−x,x>0,0,x≤0.f_X(x)= \begin{cases} e^{-x}, & x>0,\\ 0, & x\le 0. \end{cases}

    定义随机变量 Y=2X+3Y=2X+3，求：

    (a) YY 的概率密度函数 fY(y)f_Y(y)；

    (b) P{5<Y<7}P\{5<Y<7\}。

  3. 某工厂生产的零件重量服从正态分布 N(100,22)N(100,2^2)（单位：克）。现从该工厂随机抽取 50 个零件，求这 50 个零件的总重量在 4900 克到 5100 克之间的概率。

    （提示：设第 ii 个零件的重量为 XiX_i，则总重量 S=∑i=150XiS=\sum_{i=1}^{50}X_i）

  4. 设二维随机变量 (X,Y)(X,Y) 在区域 DD 上服从均匀分布，其中 DD 是由直线 y=xy=x，y=−xy=-x 和 x=1x=1 所围成的三角形区域。

    (1) 求 (X,Y)(X,Y) 的联合概率密度函数。

    (2) 判断 XX 与 YY 是否相互独立，并说明理由。

    (3) 求随机变量 Z=X+YZ=X+Y 的概率密度函数 fZ(z)f_Z(z)。

  5. 在区间 (0,2)(0,2) 上随机取一点，将该区间分成两段，较短的一段长度记为 XX，较长的一段长度记为 YY，令 Z=YXZ=\frac{Y}{X}。

    (1) 求 XX 的概率密度；

    (2) 求 ZZ 的概率密度；

    (3) 求 E(YX)\mathbb{E}\left(\frac{Y}{X}\right)。

  6. 已知 X1,X2,…,XnX_1,X_2,\ldots,X_n 都是服从 [0,θ][0,\theta] 上的均匀分布，θ∈(0,+∞)\theta\in(0,+\infty) 为未知参数，且相互独立，记

    X(n)=max⁡{X1,X2,…,Xn},Tc=cX(n).X_{(n)}=\max\{X_1,X_2,\ldots,X_n\},\quad T_c=cX_{(n)}.

    (1) 求 cc，使得 E(Tc)=θ\mathbb{E}(T_c)=\theta；

    (2) 记 h(c)=E(Tc−θ)2h(c)=\mathbb{E}(T_c-\theta)^2，求 cc，使得 h(c)h(c) 最小。