2018-2019学年上学期期中_含答案

2018-2019学年上学期期中试卷（A）

一、选择题（每题 2 分，共 20 分）

1. 下列命题正确的是（ ）

   A. 若事件 $A$ 发生的概率为 0，则 $A$ 为不可能事件； B. 若随机变量 $X$ 与 $Y$ 不独立，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 不一定成立； C. 若 $X$ 是连续型随机变量，且 $f(x)$ 是连续函数，则 $Y=f(X)$ 不一定是连续型随机变量； D. 随机变量的分布函数一定是有界连续函数。

   解：

   C

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2. 将一枚硬币独立地掷两次，设事件 $A=\{$掷第一次出现正面$\}$，$B=\{$掷第二次出现正面$\}$，$C=\{$正面出现两次$\}$，$D=\{$正、反面各出现一次$\}$，则事件（ ）

   A. $A,B,D$ 相互独立 B. $A,B,D$ 两两独立 C. $B,C,D$ 相互独立 D. $B,C,D$ 两两独立

   解：

   B

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3. 设随机变量 $(X,Y)\sim N(3,2,4,9,0.4)$，则（ ）

   A. $\operatorname{Cov}(X,Y)=0.4$ B. $\operatorname{Cov}(X,Y)=4$ C. $\operatorname{Cov}(X,Y)=9$ D. $\operatorname{Cov}(X,Y)=2.4$

   解：

   D

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4. 设随机变量 $X,Y$ 不相关，且 $E(X)=2$，$E(Y)=1$，$D(X)=3$，则 $E(X(X+Y-2))=$（ ）

   A. $-3$ B. $3$ C. $-5$ D. $5$

   解：

   D

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5. 设两个随机变量的分布函数和密度函数分别是 $F_1(x),F_2(x)$ 和 $f_1(x),f_2(x)$，则（ ）

   A. $F_1(x)+F_2(x)$ 是分布函数 B. $F_1(x)\cdot F_2(x)$ 是分布函数 C. $f_1(x)+f_2(x)$ 是密度函数 D. $f_1(x)\cdot f_2(x)$ 是密度函数

   解：

   B

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6. 设 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且 $P\{|X-\mu_1|<1\}>P\{|Y-\mu_2|<1\}$，则必有（ ）

   A. $\mu_1>\mu_2$ B. $\sigma_1^2>\sigma_2^2$ C. $\mu_1<\mu_2$ D. $\sigma_1^2<\sigma_2^2$

   解：

   D

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7. 设随机变量 $X\sim B(1,p)$，$Y$ 是一连续性随机变量，则 $X+Y$ 的分布函数（ ）

   A. 是连续函数； B. 是阶梯函数； C. 恰有一个间断点； D. 至少有两个间断点。

   解：

   A

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8. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布律为下表，若随机事件 $\{X=0\}$ 与 $\{X+Y=1\}$ 相互独立，则（ ）

   $X\backslash Y$	$0$	$1$
   $0$	$0.4$	$a$
   $1$	$b$	$0.1$

   A. $a=0.2,b=0.3$ B. $a=0.1,b=0.4$ C. $a=0.4,b=0.1$ D. $a=0.3,b=0.2$

   解：

   C

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9. 设相互独立的两个随机变量 $X$ 与 $Y$ 都服从 $N(0,1)$，则（ ）

   A. $P\{X+Y>0\}=\frac{1}{4}$ B. $P\{X-Y>0\}=\frac{1}{4}$ C. $P\{\max(X,Y)>0\}=\frac{3}{4}$ D. $P\{\min(X,Y)>0\}=\frac{3}{4}$

   解：

   C

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10. 设随机变量 $X$ 服从参数 $\lambda=3$ 的泊松分布，$Y\sim N(3,1)$，$X,Y$ 相互独立，根据切比雪夫不等式有 $P(X-3<Y<X+3)=$（ ）

    A. $\le 0.25$ B. $\le \frac{5}{9}$ C. $\ge 0.75$ D. $\ge \frac{5}{9}$

    解：

    D

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二、填空题（每题 4 分，共 20 分）

1. 设随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=0.4\Phi(x)+0.6\Phi\left(\frac{x-4}{2}\right)$，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $E(X)=$______。

   解：

   $2.4$

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2. 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $C$ 相互独立，$BC=\varnothing$，若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$，又 $P(AC\mid AB\cup C)=\frac{1}{4}$，则 $P(C)=$______。

   解：

   $\frac{1}{4}$

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3. 设随机变量 $X$ 的密度函数

   $$f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases}$$

   $Y$ 表示 $X$ 的 3 次独立重复事件 $\{X\le\frac{1}{2}\}$ 次数，则 $P\{Y=2\}=$______。

   解：

   $\frac{9}{64}$

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4. 设随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数是

   $$F(x,y)= \begin{cases} 0, & \min(x,y)<0,\\ \min(x,y), & 0\le \min(x,y)<1,\\ 1, & \min(x,y)\ge 1, \end{cases}$$

   则 $X$ 的分布函数为______。

   解：

   $$F_X(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ x, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases}$$

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5. 设随机变量 $X$ 的分布函数为

   $$F(x)= \begin{cases} 0, & x<10,\\ 1-\frac{10}{x}, & x\ge 10, \end{cases}$$

   用 $Y$ 表示对 $X$ 的 72 次独立重复观察中事件 $(X>30)$ 出现的次数，则由中心极限定理得：$Y$ 近似服从______。

   解：

   $N(24,16)$

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三、计算题（每题 10 分，共 60 分）

附表：（其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）

$x$	$0.10$	$0.20$	$0.40$	$0.78$	$0.94$	$1.00$	$1.11$	$1.20$	$1.40$	$1.50$	$1.60$	$2.00$	$2.50$
$\Phi(x)$	$0.530$	$0.579$	$0.655$	$0.783$	$0.827$	$0.841$	$0.867$	$0.885$	$0.919$	$0.933$	$0.945$	$0.977$	$0.994$

1. 观察进入华师大车辆的情况，设每小时进入华师大的车辆数服从参数为 $\lambda$ 的 Poisson 分布，但每天 24 小时中 3 个时间段参数 $\lambda$ 不一样：在高峰时段（早上 7:0010:00），$\lambda=20$；平时时段（10:0020:00）$\lambda=15$；而其余时段则是 $\lambda=5$。现观察者随机观察某一个小时发现进了 10 辆车，试求属于高峰时段的概率。

   解：

   设 $A_1=\{$高峰时段$\}$，$A_2=\{$平时时段$\}$，$A_3=\{$其他时段$\}$，$B=\{$某个小时进了 10 辆车$\}$。则

   $$P(A_1\mid B)= \frac{P(A_1)P(B\mid A_1)}{P(A_1)P(B\mid A_1)+P(A_2)P(B\mid A_2)+P(A_3)P(B\mid A_3)}$$$$= \frac{\frac{3}{24}\cdot \frac{20^{10}}{10!}e^{-20}} {\frac{3}{24}\cdot \frac{20^{10}}{10!}e^{-20} +\frac{10}{24}\cdot \frac{15^{10}}{10!}e^{-15} +\frac{11}{24}\cdot \frac{5^{10}}{10!}e^{-5}} =0.025.$$

   其中可用数值为：

   $\lambda$	5	10	15	20
   $m=10$	0.01813	0.12511	0.04861	0.00582

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2. 设 $X$ 的密度函数为

   $$f(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|},\qquad x\in(-\infty,+\infty).$$

   （1）$E(X)$。（2 分）

   （2）$D(X)$。（2 分）

   （3）$\operatorname{cov}(X,|X|)$。（3 分）

   （4）$E(\sqrt{|X|})$。（3 分）

   解：

   （1）

   $$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\,dx =\int_{-\infty}^{0}x\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_{0}^{+\infty}x\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=0.$$

   （2）

   $$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\,dx =\int_{-\infty}^{0}x^2\frac{1}{2}e^x\,dx+\int_{0}^{+\infty}x^2\frac{1}{2}e^{-x}\,dx=2.$$$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2.$$

   （3）

   $$\operatorname{cov}(X,|X|) =E(X|X|)-E(X)E(|X|) =\int_{-\infty}^{+\infty}x|x|f(x)\,dx-0=0.$$

   其中 $x|x|f(x)$ 是奇函数。

   （4）

   $$E(\sqrt{|X|})=\int_0^{+\infty}\sqrt{x}e^{-\sqrt{x}}\,dx$$

   令 $\sqrt{x}=t$，有 $dx=2t\,dt$，则原式 $=2\int_0^\infty t^2e^{-t}\,dt=4$。

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3. 设离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布律如下：

   $X\backslash Y$	$0$	$1$
   $0$	$0.1$	$0.2$
   $1$	$0.3$	$0.4$

   求：

   （1）$E(X-1)$。（3 分）

   （2）$E(XY)$。（4 分）

   （3）$\rho_{XY}$。（3 分）

   解：

   $X$ 的边缘分布为 $P\{X=0\}=0.3$，$P\{X=1\}=0.7$，故 $E(X)=0.7$，$D(X)=0.21$。

   $Y$ 的边缘分布为 $P\{Y=0\}=0.4$，$P\{Y=1\}=0.6$，故 $E(Y)=0.6$，$D(Y)=0.24$。

   （1）

   $$E(X-1)=E(X)-1=-0.3.$$

   （2）$P\{XY=0\}=0.6$，$P\{XY=1\}=0.4$，故

   $$E(XY)=0\times 0.6+1\times 0.4=0.4.$$

   （3）

   $$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7\times 0.6=-0.02,$$$$\rho_{XY}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}\approx -0.089.$$

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4. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，$G$ 是由直线 $y=1-|x|$ 与 $y=0$ 围成，求：

   a）求 $X$、$Y$ 的边缘概率密度函数；（5 分）

   b）当 $0\le x<1$，计算 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$。（5 分）

   解：

   根据题意，$(X,Y)$ 的联合密度函数为

   $$f(x,y)= \begin{cases} 1, & -1+y<x<1-y,\ 0<y<1,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}$$$$f_X(x)= \begin{cases} 1+x, & -1<x<0,\\ 1-x, & 0\le x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases}$$$$f_Y(y)= \begin{cases} 2-2y, & 0<y<1,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}$$

   当 $0\le x<1$ 时，

   $$f_{Y\mid X}(y\mid x)= \begin{cases} \frac{1}{1-x}, & 0<y<1-x,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}$$

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5. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X,Y$ 的概率密度函数分别为

   $$f_X(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1,\\ 0, & \text{其它}, \end{cases} \qquad f_Y(y)= \begin{cases} e^{-y}, & y>0,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}$$

   求：

   （1）$(X,Y)$ 的概率密度（3 分）；

   （2）$Z=X+Y$，试求随机变量 $Z$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$（7 分）。

   解：

   （1）

   $$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)= \begin{cases} 2xe^{-y}, & 0<x<1,\ y>0,\\ 0, & \text{其它}. \end{cases}$$

   （2）

   $$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.$$

   当 $z\le 0$，$f_Z(z)=0$；

   当 $0<z\le 1$，

   $$f_Z(z)=\int_0^z 2xe^{-(z-x)}\,dx=2z+2e^{-z}-2;$$

   当 $z>1$，

   $$f_Z(z)=\int_0^1 2xe^{-(z-x)}\,dx=2e^{-z}.$$

   因此

   $$f_Z(z)= \begin{cases} 0, & z\le 0,\\ 2z+2e^{-z}-2, & 0<z\le 1,\\ 2e^{-z}, & z>1. \end{cases}$$

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6. 学校某食堂出售盒饭，共有三种价格：4 元，5 元和 6 元。出售哪种盒饭是随机的，售出三种价格盒饭的概率分布 0.3，0.5 和 0.2，已知某天售出 400 盒。

   求：

   （1）这天售出盒饭的收入不少于 1925 元的概率（5 分）；

   （2）这天售出 6 元盒饭不多于 100 盒的概率（5 分）。

   解：

   （1）设 $X_i$ 表示第 $i$ 盒盒饭的价格，$Y=\sum_{i=1}^{400}X_i$ 表示这天售出 400 份盒饭的收入。由独立同分布的中心极限定理，$E(X_i)=4.9$，$D(X_i)=0.49$，所以

   $$\frac{Y-1960}{14}\sim N(0,1).$$

   因此

   $$P\{Y\ge 1925\} =P\left\{\frac{Y-1960}{14}\ge \frac{1925-1960}{14}\right\} =1-\Phi(-2.5)=0.994.$$

   （2）设 $Z$ 表示售出 6 元盒饭的数量，则 $Z\sim B(400,0.2)$，$E(Z)=80$，$D(Z)=64$。由中心极限定理，

   $$P\{Z\le 100\} \approx \Phi\left(\frac{100-80}{8}\right) =\Phi(2.5)=0.994.$$